昨天中午同学问了我一道整数规划的几何概型问题，还颇费了我一番脑筋才想出来具体解法，于是想试着把解法用通俗易懂的语言写在下面。
请先读题：
题目翻译：
X,Y,Z 服从自 1 至 9 的离散均匀分布（即等概率地取值于1,2,3,4,5,6,7,8,9）。现在，从同样的分布中取随机变量 H，请问当 X+Y+Z=10 时，H 比 X,Y 和 Z 都小的概率。
额，这么表述太数学了，大家也没有get到这个问题的破题点在哪里。那么下面就允许我把这道题用朴实的语言翻译如下：
问题转述：
现在有大小两个袋子，大袋子里有红、黄、蓝三种球各9个，小袋子里有绿球9个。现在，已知小明从大袋子里取出10个球，且红、黄、蓝三种球都有；小刚随机从小袋子里取出若干个绿球。问取出的绿球比红、黄、蓝球的个数都少的概率是多少？
这么转述是不是问题就变成了小学应用题难度了呢？各位可以让还在上小学的小朋友们看一下这道题，说不定有不少小朋友们就能解出来了呢。
这里，为什么可以这么转述呢？我认为关键点在这里：
首先，各个变量都是服从离散均匀分布，因此我们只需要统计符合题意的各种情况出现的数目，除以不同情况的总可能数，得到的就是我们所要的概率，因此这个看似是线性规划的几何概型题目，就转化为古典概型了。
其次，考虑到这是一个条件概率，即在满足 X+Y+Z=10 的条件下再计算概率，因此，我们就可以只考虑三者之和等于 10 的那些情况，就不必兼顾其他的冗余情况。那么在这种情况下，由于 X,Y,Z 取值都为大于 0 而小于 10 的整数，因此，我把它转述为“三种颜色的球都有”，也是合理的了。
最后，把与 X,Y,Z 都无关的 H 转述为从另一个袋子中取绿球，就很是简单直接了。
思路：
这时，我们就可以开始考虑解题了。
首先我们考虑分母，即不同情况的总可能数。在我们的转述中，就是“从大袋子中取 10 个球，使得红黄蓝球都有”的不同情况总数。我们假设袋中的球除了颜色外没有任何其他区别。
在这里，我们引入排列组合中常见的思路，挡板法。
挡板法
以下这段故事，熟悉挡板法的同学可以自行忽略。
现在我们考虑桌上有一排很整齐的圆球，如下：
〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇
有一个小粉刷匠，拿着红黄蓝三种油漆，要给上面的球涂上颜色。小粉刷匠正待挥舞他的小刷子，你挡住了他，说道，“小心哦，你要保证每种颜色都有。”
小粉刷匠努努嘴，说，“要是我刷的太快了，忘了换颜色怎么办？”
你想了想，说，“这个好办，我像这样帮你在球中间放置两个挡板，你从左往右刷，碰见挡板的时候就换颜色，先刷红，再刷黄，最后刷蓝，就不怕忘了。”
〇 〇|〇 〇 〇 〇 〇|〇 〇 〇
小粉刷匠说：“好主意，那么，聪明的你，知道我总共有多少种粉刷方案吗？”
这时，你看着桌上的球，心算了一下：
桌上总共有 10 个完全相同的球，它们中间有 9 个的间隙，我现在手里拿着两个完全相同的挡板，那么染色不同情况的个数，就是从这9个空位中选2个空位的方法数目，就是组合数 C(9,2) 了！
你兴奋地把自己的结论告诉了小粉刷匠，小粉刷匠也开始兴奋地刷子飞舞忙了。
挡板法，完。
现在就需要开始考虑我们计算的概率的分子了。
我们现在已经成功地把上面的圆球分成了红黄蓝三堆，个数分别为 X,Y,Z ，现在我们需要考虑绿球小于这三堆球中任何一堆的概率了。
这看似是个棘手的问题，但是如果我们具体分析的话，它只有以下两种情况：
1. 最少的一堆有 2 个球，小刚此时只能取 1 个绿球；
2. 最少的一堆有 3 个球，小刚此时可以取 1 个或 2 个绿球。
你若是问，其他情况呢？
这时我只能给你讲一下抽屉原理，来给你说明没有其他情况了。
抽屉原理
抽屉原理，是数论中最基本也是几乎用的最广泛的一条原理，简而言之，就是 3 个苹果放到 2 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放了至少 2 个苹果。
把它表述得严谨，或是数学一点的话，是：
假如有 (n+1) 个元素放到 n 个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。
对抽屉原理的扩展有很多，这里我们考虑反着来用一下抽屉原理。反着来用并不是说要把抽屉放到苹果里，当然我让你把抽屉放到苹果里你也未必能放的进去，这里，我指的是第二抽屉原理：
把 (mn-1) 个物体放入 n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有 (m-1) 个物体。
代到具体问题中来，就是：
把 (4*3-1) = 11 >10 个球染成 3 种不同的颜色，那么其中必有一种颜色的球至多有 (4-1) = 3 个。因此，对于 10 个球的情形，显而易见，至少有一种颜色的球不多于 3 个了。因而我们取出的绿球的个数 H 必然要小于 3 了。由此观之，我刚才讨论的情况 1 和情况 2 便一目了然了吧。
抽屉原理，完。
接下来我们就需要对情况 1 和情况 2 分别来考虑了。
对于情况 1 ，这时我们需要考虑把 10 个球分成三堆，最少的一堆有 2 个球的分法数量，又是一个组合问题，为了一以概之地解决类似问题，我在这里不得不引入下面一个小话题了：
分堆问题
让我们的小粉刷匠再次粉墨，哦不，隆重登场！
现在桌上又出现了一排很整齐的圆球，如下：
〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇
小粉刷匠得到了上一道问题的答案又满心欢喜地待挥舞他的小刷子，你再次挡住了他，说道，“现在你要保证最少的一种颜色的球的数量是 2 个，你想想有几种刷法。”
小粉刷匠犯了难：“这么多球，我刷漆就够累的了，你还有这么多要求，你让我怎么办嘛！”
你又想了想，说，“别急，我帮你出个主意。你先从原来的球中取出来 6 个球，刷 2 个红球，2 个黄球和 2 个蓝球。”
小粉刷匠疑惑地接受了你的建议，但是还很熟练地把 6 个球分别刷成了红黄蓝 3 种颜色，刷子飞舞之快在你眼前展现出了一条彩虹。随后，桌面上剩下的球变成了下面的样子：
〇 〇 〇 〇
球的数量少了很多，小粉刷匠甚是欣喜，可还是没明白，说，“然后呢？”
“你再想想现在你刷漆还有什么要求呀？”
“现在桌面上剩下 4 个球，我要求你可以用 1 种或 2 种颜料给他们刷上漆，但不能全用上 3 种颜色。”
“哦，这样就保证了最少的那种颜色一定是 2 个球了。”
“那么，一共有几种方法呢？”
“我可以把染 1 种颜色和染 2 种颜色的情况分开：
如果我只染 1 种颜色，那么我可以从 3 种颜料中选 1 种颜料，然后把它们全部涂上，这样共有组合数 C(3,1) = 3 种染法；
如果我染 2 种颜色，那么我可以从 3 种颜料中选 2 种颜料，有组合数 C(3,2) = 3 种选法，然后再把 4 个球分成 2 堆，还是用挡板法，有组合数 C(3,1) = 3 种分法；
这样总共有C(3,2) * C(3,1) = 9 种染色方法！
再把染 1 种颜色和染 2 种颜色的情况合并起来，共有 C(3,1) + C(3,2) * C(3,1) = 12 种染色方法！”
小粉刷匠甚是兴奋地得出了答案。
分堆问题，完。
对于情况 2 ，如法炮制，甚至还更简单了一些，我们可以得出有 C(3,1) = 3 种染色方案。
因此，小刚的取法总数是
1 * ( C(3,1) + C(3,2) * C(3,1) ) + 2 * C(3,1) = 18 (种)
因为小刚取球和小明独立，因此全部的取法总数是
9 * C (9,2) = 324 (种)
至此，我们就得到了符合题意的取法的概率为
18 / 324 = 1 / 18 .
解
Prob (H<X, H<Y, H<Z) = ( 1 * ( C(3,1) + C(3,2) * C(3,1) ) + 2 * C(3,1) ) / ( 9 * C (9,2) ) = 1 / 18
完。
