方程论
解多项式方程的研究从17世纪延续下来没有发生过中断，这是数学的基本课题：找个好方法解任意次方程、求方程近似根、以及方程理论（比如证明n次多项式方程有n个根），在积分中采用部分分式法提出了新问题：是否任何实系数多项式都能分解成线性因式的乘积，或一次因式和二次因式的乘积，以避免使用复数。
莱布尼茨不相信任何实系数多项式能分解成实系数一次因式和二次因式的乘积，但欧拉认为这是可行的，他向哥德巴赫指出复根以共轭形式成对出现，和
是一个实系数的二次多项式，哥德巴赫拒绝这种思想，认为欧拉没有做出一般性证明。这个问题的关键在于证明每个多项式至少有一个实根或复根，这也是代数基本定理。
达朗贝尔和欧拉的证明是不完全的，1772年拉格朗日给了一个详细的论证，但他也没有证明多项式方程的根在最坏情况下是复数，因此还是不完全的。1799年高斯给出了代数基本定理的第一个实质性证明（虽然按现在标准也不严格），他不去计算根，而是去证明它的存在，他指出P(x+iy)=0的复根a+ib对应平面上的点(a,b)，如果P(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)，那么(a,b)是曲线u(x,y)=0和v(x,y)=0的交点，他依靠复杂的曲线图形证明曲线必然相交，这个论证具有高度创造性。他还证明n次多项式可以表示为一次和二次因此的乘积。
后来高斯还给了代数基本定理的另外三个证明，在第二个证明中，他不用几何论据，在这个证明中他证明每两个根之差的乘积（西尔韦斯特称为判别式）能表示成多项式和它的导数的线性组合。第三个证明是现在所谓的柯西积分定理，第四个证明是第一个证明的变种，但高斯更自由地使用了复数。代数基本定理有200多种证法，大多不是在最一般的情况下证明，高斯前三种证法和后来柯西、雅可比、阿贝尔的证明都假定了实系数，但整个定理也包括复系数，而高斯的第四种证法允许多项式系数为复数。
高斯探讨代数基本定理的方法开创了探讨数学存在性问题的新途径。古希腊人意识到研究对象的存在性必须建立在与其相关的定理前，他们认为存在意味着可构造性，之后存在性都是通过实际获得或显示出问题中的量而建立起来的，如二次方程解的存在性，但在方程次数高于四次时这个方法就失效了。当然，高斯对存在性的证明，对于已经有存在性的对象来说可能么得任何意义。
数学家证明每个实系数方程至少有一根时，也在推进用代数方法解四次以上方程，莱布尼茨和好友钦豪绅做了第一批工作。有一段时间大家热衷解x^n-1=0这一特殊情形，柯特斯和棣莫弗通过复数证明这个问题相当于把圆周n等分，1771年范德蒙（1735-1796）断言形如x^n-1=0的方程都可以开根求解，他仅验证了对于n<11的素数成立。关于二项方程，高斯做了具有决定意义的工作。
解四次以上方程的精力集中在解一般性方程上，在求解过程中人们发现了关于对称函数的辅助性工作的重要性，17世纪牛顿证明了多项式根的乘积的各种和可以用方程系数表示，使人们产生了研究对称函数的兴趣。比如当n=3时，方程三个根两两相乘的和是x^3-c1x^2+c2x-c3=0中的c2。范德蒙1771年证明了根的任何对称函数都能用方程系数表示，不过范德蒙的做法没有拉格朗日清晰。对于一个三次方程，拉格朗日是先引入变换，得到一个六次的辅助方程（简化方程），再设r=y^3得到关于y^3的二次方程，从而求解。他指出人们要解的不是y(x)而是x(y)，要解的是简化方程。他发现x1,x2,x3按特定顺序取出时，每个y都能写成，从而得出简化方程的两个性质：1、在上式中x1,x2,x3不固定，共有3！种取法，即有6个y值，y满足6次方程，因此简化方程的次数由原方程根的置换次数决定；2、上式说明y^3只有两个值，所以六次方程能简化为二次方程，六次方程的系数是原三次方程系数的有理函数。
对x的一般四次方程，拉格朗日考虑y=x1x2+x3x4，四个根在24种置换下取得3个不同y值，因此y满足一个三次方程。然后他处理一般的n次方程。
对于x^2+bx+c=0，x1+x2和x1x2分别是对称函数，即x1x2交换位置时值不变，我们称这个函数容许置换，比如x1+x2容许置换，x1-x2不容许。拉格朗日证明了两个重要的命题：一、如果一般n次方程的根的一个函数Φ(x1,x2,...,xn)容许另一个函数ψ(x1,x2,...,xn)所容许的xi的所有置换，那么函数Φ可以用ψ和一般方程的系数有理地表示出来，例如二次方程根的函数x1容许函数x1-x2所容许的所有置换（只有一个，即恒等置换），有;二、如果一般方程的根的一个函数Φ(x1,x2,...,xn)不容许函数ψ(x1,x2,...,xn)所容许的xi的所有置换，但在ψ所容许的置换下取r个不同的值，那么Φ是一个r次方程的根，方程系数是ψ和n次方程系数的有理函数。比如二次方程根函数x1-x2不容许x1+x2所容许的所有置换，在置换下取x1-x2和x2-x1两个值，于是x1-x2是一个二次方程的根，系数是x1+x2和b,c的有理函数，(x1-x2)^2-(b^2-4c)=0.
对一般的n次方程，拉格朗日的想法是从对称函数Φ0出发，这个函数容许根的所有n!种置换，如x1+x2+...+xn，再选择只容许某些置换的函数Φ1，假设Φ1在n!次置换下取r个不同的值，那么构造一个r次方程求Φ1，以此类推构造s次方程求Φ2，这些r次、s次……方程现在称为预解方程，求出所有Φi后就可以求出x1,x2,...xn。拉格朗日的方法在求一般的二次、三次、四次方程都很有效，但求五次方程遇到了困难。他没有给出选择Φi的任何准则，使Φi满足一个代数可解的方程，而且他的方法只能用于一般方程，因为他的两个基本命题假设根是无关的。他被迫下结论：用代数运算解高次方程看来是不可能的，1801年高斯也认为这个问题也许解决不了。
尽管拉格朗日的方法有局限性，但他洞察了n≤4成功而n>4失败的原因，阿贝尔和伽罗瓦借鉴了这一发现。另外，这个方法必须考虑一个有理函数变量置换时的取值个数，从而引导出置换或代换群理论，其实他已经得到这样的定理：一个群的子群的阶（元素的个数）必定是该群的阶的因子。拉格朗日的著作是群论著作的先导，上述定理用群论形式叙述为：Φ1所取值的个数r是n！的因子。
受拉格朗日影响， 他的学生鲁菲尼(Ruffini Paolo,1756-1822)在1799-1813年试图证明四次以上方程不能用代数方法解出。（鲁菲尼还是个医学家，震惊，鲁菲尼氏小体不会也是他发现的吧……）他用拉格朗日的方法证明n>4时不存在一个n元有理函数，在n个元素发生置换时取3个或4个值，他用了一条辅助定理（现在称为阿贝尔定理）：如果一个方程能用开根求解，那么根的表达式能写成这样一种形式，其中的根式是已知方程的根和单位根的有理系数的有理函数。
