系统的流

如前所述，自治系统是域 $D$ 内质点运动所满足的微分方程，它过点 $P\in D$ 的解记作 $\phi(P,t)$ ,是过 $P$ 点的运动方程，不妨设它的存在区间为 $(-\infty,+\infty)$ .

固定 $P$ 让 $t$ 变化，那么 $\phi(P,t)$ 在相空间中表示一条轨线，在增广相空间中表示一条解曲线。
若固定 $t$ ，则 $\phi(P,t) = \phi_t(P)$ 可以看成是由 $R^n$ 到 $R^n$ 的映射或变换,他把 $D=R^n$ 映射成其自身。
再让参数t变动，则 $\phi_t(P)$ 可以看成是 $D$ 内的点沿着其轨线方向流动，称 $\phi_t(P)$ 为系统的流。

动力系统

对于每一 $t \in \mathbb{R}$ ， $\varphi_t (P)$ 是 $D \to D$ 的变换。现在考察对一切 $t \in \mathbb{R}$ ，这些变换的全体所构成的集合
$\{ \varphi_t (P) \equiv \varphi (P, t) \mid -\infty < t < +\infty \}.$

在此集合上定义乘法运算
$\varphi_{t_1} (P) \circ \varphi_{t_2} (P) = \varphi (\varphi (P, t_1), t_2)$

满足
$\varphi_{t_1} (P) \circ \varphi_{t_2} (P) = \varphi_{t_1 + t_2} (P).$

容易看出变换集合对上述乘法运算是封闭的，且适合结合律
$(\varphi_{t_1} (P) \circ \varphi_{t_2} (P)) \circ \varphi_{t_3} (P) = \varphi_{t_1} (P) \circ (\varphi_{t_2} (P) \circ \varphi_{t_3} (P)).$

$\varphi_0 (P) = P$ ，故存在单位元素。又由于对任一元素 $\varphi_{-t_0} (P)$ 均存在 $\varphi_{t_0} (P)$ 使得
$\varphi_{-t_0} (P) \circ \varphi_{t_0} (P) = \varphi_0 (P),$

即存在逆元素。因此集合对乘法运算构成一含单参数 $t$ 的群。又由于交换律
$\varphi_{t_1} (P) \circ \varphi_{t_2} (P) = \varphi_{t_2} (P) \circ \varphi_{t_1} (P),$ 那么我们称这样的一个单参数可交换的连续变换群为一个动力系统。
重点：单位元，封闭的乘法运算，结合律，交换律。

常点与奇点

设有自治系统
$\frac{dx}{dt}=f(x) ,f\in C (G\in R^n)$ 定义： 若 $\overline{x}\in G$ ，使得 $f(\overline{x}) \neq 0$ ,则称 $\overline{x}$ 为系统的常点；若 $x^*\in G$ ,使得 $f(x^*) = 0$ ,则称 $x^*$ 为系统的奇点。

对于常点 $\overline{x}$ , $f(\overline{x} ) \neq 0$ , 则据 $f$ 的连续性可知, 必存在 $\overline{x}$ 的邻域 $U(\overline{x})$ , 使得 $f(x) \neq 0, ∀x ∈ U(\overline{x})$ , 即在邻域 $U(\overline{x})$ 内任一点都是 $f$ 的常点. 过这些点均有且仅有一条轨线通过. 因此, 常点附近轨线的拓扑结构是非常简单的, 它们可以看成一些相互平行的线段.
对于奇点 $x^∗$ , 由于 $f(x^∗) = 0$ , 从而 $x = x^∗$ 是系统 (2.2.1) 的解. 由于此时有 $\frac{dx}{dt} = f(x^∗) = 0$ , 所以此解不随时间 $t$ 而变化, 在增广相空间中表示一条平行于 $t$ 轴的直线, 它在相空间的投影就是奇点 $x^∗$ , 所以奇点是一条特殊的轨线。
从动力学的观点来看, 在奇点 $x^∗$ 处运动的速度 $f(x^∗) = 0$ , 从而质点不运动, 因而奇点也称为系统的平衡点。

等价系统

若两个自治系统的轨线（包括奇点）完全相同（走向可以不同），则这两个自治系统称为是等价的。

例如，自治系统
$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = -y, \\ \frac{dy}{dt} = x; \end{cases} \quad \begin{cases} \frac{dx}{dt} = y, \\ \frac{dy}{dt} = -x; \end{cases} \quad \begin{cases} \frac{dx}{dt} = 3y(x^2 + y^2 + 1), \\ \frac{dy}{dt} = -3x(x^2 + y^2 + 1) \end{cases}$
都是相互等价的。而系统
$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = y(x^2 + y^2 - 1), \\ \frac{dy}{dt} = -x(x^2 + y^2 - 1) \end{cases}$
与它们在域 $\{(x, y) \mid x^2 + y^2 < 1\}$ 内等价，但在 $\mathbb{R}^2$ 内不等价。

正(负)半轨

$\forall t_0 \in \mathbb{R}$ ，称轨线 $\varphi (P, t)$ $(t_0 \leq t < +\infty)$ 为自治系统的正半轨，记作 $L_p^+$ 或 $\varphi (P, l^+)$ ；称轨线 $\varphi (P, t)$ $(-\infty < t \leq t_0)$ 为负半轨，记作 $L_p^-$ 或 $\varphi (P, l^-)$ ；将整条轨线 $\varphi (P, t)$ $(-\infty < t < +\infty)$ 记作 $L_p$ 或 $\varphi (P, l)$ 。

$\omega(\alpha)$ 极限集

若存在时间序列 $\{t_n\}$ ，当 $n \to +\infty$ 时 $t_n \to +\infty$ $(-\infty)$ ，使得
$\lim_{n \to +\infty} \varphi (P, t_n) = P^*，$ 则点 $P^*$ 称为自治系统过 $P$ 点的轨线 $\varphi (P, t)$ 的 $\omega(\alpha)$ 极限点，或称正（负）半轨 $L_p^+$ ( $L_p^-$ ) 的 $\omega(\alpha)$ 极限点。
$\varphi (P, t)$ 的 $\omega(\alpha)$ 极限点的全体称为 $\varphi (P, t)$ 的 $\omega(\alpha)$ 极限集，记作 $\Omega_P (A_P)$ 。

稳定性

零解的稳定性：若对任意给定的 $\epsilon > 0$ ，都能找到正数 $\delta = \delta(\epsilon, t_0)$ ，使得当 $\| x_0 \| < \delta$ 和 $t > t_0$ 时方程的解 $x(t) = x(t, t_0, x_0)$ 满足 $\| x(t, t_0, x_0) \| < \epsilon$ ，则称方程的零解是稳定的，否则，称方程的零解是不稳定的。

吸引域：设 $U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中包含坐标原点的一个开区域，若对所有的 $x_0 \in U$ 和任意给定的 $\epsilon > 0$ ，都能找到正数 $T = T(\epsilon, t_0, x_0)$ ，使得当 $t > t_0 + T$ 时，方程的解 $x(t) = x(t, t_0, x_0)$ 满足 $\| x(t, t_0, x_0) \| < \epsilon$ ，则称方程的零解是吸引的，称 $U$ 是方程零解的一个吸引域。

渐近稳定：若方程的零解是稳定的，又是吸引的，则称方程的零解是渐近稳定的；若方程零解的吸引域是整个 $\mathbb{R}^n$ ，则称方程的零解是全局渐近稳定的。

$V$ 函数：若除原点外对所有 $x \in U$ 均有 $V(x) > 0$ ( $V(x) < 0$ )，则称 $V(x)$ 为正定函数（负定函数）；若对所有 $x \in U$ 均有 $V(x) \geq 0$ ( $V(x) \leq 0$ )，则称 $V(x)$ 为半正定函数（半负定函数）；若在 $U$ 中原点的任一邻域内 $V(x)$ 既可取正值，也可取负值，则称 $V(x)$ 为变号函数。

动力系统基本概念