损失函数

交叉熵的公式如下，其中P(x)为真实分布，Q(x)为预测分布，x为随机变量:
![][cross_entropy_equation]
[cross_entropy_equation]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?CE\left(P,Q\right)=-P\left(x\right)logQ\left(x\right)

转移到loss function上，对于训练集中的一条数据，y表示真实结果的one-hot vector，y_esti表示预测的结果的softmax vector，k表示label（即y中元素等于1的index）。
假设：
y = [0,...,1,...,0]
y_esti = [0.02,...,0.87,...,0.001]
则：
![][cross_entropy_loss]
[cross_entropy_loss]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?CE\left(y,y_esti\right)=-ylog\left(y_esti\right)=\sum_{i}^{C}-y_ilog\left(y_esti_i\right)=-1\times\left(0\times0.02+...+1\times0.87+...+0\times0.001\right)=-1\times0.87
也就是说：
![][cross_entropy_loss_short]
[cross_entropy_loss_short]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?CE\left(y,y_esti\right)=-y_klog\left(y_esti_k\right)
对于整个训练集来讲，总的loss为：
![][cross_entropy_loss_total]
[cross_entropy_loss_total]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?CE_{total}=\sum^{MCE\left(y,y_esti\right)=\sum}M-y_klog\left(y_esti_k\right)

反向求导

现求个简单的导数。
假设:
![][assumption1]
[assumption1]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?y_esti=softmax\left(\theta\right)
有损失函数：
![][loss1]
[loss1]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?CE\left(y,y_esti\right)=-ylog\left(y_esti\right)=\sum_{i}^{C}-y_ilog\left(y_esti_i\right)
求导过程如下：

交叉熵求导.jpg

接着再求一个简单的三层网络的导数。各参数的维度如下：
![][dim_1]
[dim_1]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?Dim(x)=MD_x
![][dim_2]
[dim_2]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?Dim(W1)=D_xH
![][dim_3]
[dim_3]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?Dim(b1)=1H
![][dim_4]
[dim_4]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?Dim(W2)=HD_y
![][dim_5]
[dim_5]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?Dim(b2)=1*D_y

前向传播：
![][forward_1]
[forward_1]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?z1=xW1+b1
![][forward_2]
[forward_2]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?h1=sigmoid(z1)
![][forward_3]
[forward_3]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?z2=h1W2+b2
![][forward_4]
[forward_4]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?y_esti=softmax(z2)

反向传播：
![][back_1]
[back_1]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\frac{\partial}{\partial{W2}}CE(y,y_esti)=\frac{\partial{CE}}{\partial{z2}}\times\frac{\partial{z2}}{\partial{W2}}=h1^T(y_esti-y)
其中，
![][back_1_1]
[back_1_1]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\frac{\partial{CE}}{\partial{z2}}=y_esti-y
也就是相当于上边的简单求导。
这一步最后的结果是为了对应矩阵的维度，所以做了对应。
![][back_2]
[back_2]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\frac{\partial}{\partial{b2}}CE(y,y_esti)=\frac{\partial{CE}}{\partial{z2}}\times\frac{\partial{z2}}{\partial{b2}}=y_esti-y
接着再对上一层的参数求导：
![][back_3]
[back_3]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\frac{\partial}{\partial{W1}}CE(y,y_esti)=\frac{\partial{CE}}{\partial{z2}}\times\frac{\partial{z2}}{\partial{h}}\times\frac{\partial{h}}{\partial{z1}}\times\frac{\partial{z1}}{\partial{W1}}=x^T(y_esti-y)W2^{T\odot{sigmoid}{-1}(z1)}
其中，
![][back_3_1]
[back_3_1]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\frac{\partial{z2}}{\partial{h}}=W2
![][back_3_2]
[back_3_2]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\frac{\partial{h}}{\partial{z1}}=sigmoid^{-1}(z1)
![][back_3_3]
[back_3_3]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\frac{\partial{z1}}{\partial{W1}}=x
最后一个偏导：
![][back_4]
[back_4]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\frac{\partial}{\partial{b1}}CE(y,y_esti)=\frac{\partial{CE}}{\partial{z2}}\times\frac{\partial{z2}}{\partial{h}}\times\frac{\partial{h}}{\partial{z1}}\times\frac{\partial{z1}}{\partial{b1}}=(y_esti-y)W2^{T\odot{sigmoid}{-1}(z1)}
至此为止所有的就都求导完毕了。