智力题和概率

1 从一副52张扑克牌中随机抽两种，颜色相等的概率

C(4,1)*C(13,2)/C(52,2)

2 54张牌，分成6份，每份9张牌，大小王在一起的概率

C(6,1)C(52,7)*(52-7)!/(9!)^5/
(54!/(9!)^6)

3 52张牌去掉大小王，分成26*2两堆，从其中一堆取4张牌为4个a的概率

C(2,1)*C(48,22)/(52!/(26!)^2)

4 一枚硬币，扔了一亿次都是正面朝上，再扔一次反面朝上的概率是多少？

有理由相信硬币两面都是正面，，，，（贝叶斯）
50%（频率学派）

5 有8个箱子，现在有一封信，这封信放在这8个箱子中（任意一个）的概率为4/5,不放的概率为1/5（比如忘记了）,现在我打开1号箱子发现是空的，求下面7个箱子中含有这封信的概率为？

6 已知N枚真硬币，M枚假硬币（两面都是国徽），R次重复采样都是国徽，问真硬币的概率？

7 一对夫妻有2个孩子，求一个孩子是女孩的情况下，另一个孩子也是女孩的概率

image.png

8 有种癌症，早期的治愈率为0.8，中期的治愈率为0.5，晚期的治愈率为0.2.若早期没治好就会转为中期，中期没治好就会变成晚期。现在有一个人被诊断为癌症早期，然后被治愈了，问他被误诊为癌症的概率是多少？

9 某城市发生了一起汽车撞人逃跑事件，该城市只有两种颜色的车，蓝20%绿80%，事发时现场有一个目击者，他指证是蓝车，但是根据专家在现场分析，当时那种条件能看正确的可能性是80%，那么，肇事的车是蓝车的概率是多少？

已经知道的条件就是这个人看到了，就是蓝车。这个时候需要把看到蓝色车当做总体事件。看到蓝色车的概率是：(85％×20％＋15%80%) 。可见这个时候的总体事件不是1啦。
再分析下，其中真正是蓝色车的情况：蓝看成蓝：15%80%
所以是蓝色车的概率是：P=15%80%/(85％×20％＋15%80%)

10 100人坐飞机，第一个乘客在座位中随便选一个坐下，第100人正确坐到自己坐位的概率是？

等价于这个描述：2-99号乘客登机后如果发现1号(疯子)坐在本属于自己的位子上，就会请疯子离开，然后疯子再随机找个空座。(就是平时大家在一票一座的交通工具上对号入座时的方式)这样到100号登机时，2-99号都在自己座位上，1号疯子在自己座位上和100号乘客座位上概率相同，所以是1/2。另外这个结果和总乘客数无关，可以由100推广至任意k。

11 一个国家重男轻女，只要生了女孩就继续生，直到生出男孩为止，问这个国家的男女比例？

如果一年一生
第一年：男：1/2 女:1/2
第二年：男：1/2+(1/2)^2 女：1/2＋(1/2)^2
第三年：男：1/2+(1/2)^2+(1/2)3 女：1/2+(1/2)^2+(1/2)3
.......
所以一群人生出来的男女比例为1

12 有50个红球，50个蓝球，如何放入两个盒子中使得拿到红球的概率最大

两个箱子概率是1/2，选中某个箱子后又有选择的是不是红球的概率，所以最大概率就是一个红球放在一个箱子里，其余的99个球全放到另一个箱子。这样概率=0.5+0.5*（49/99）约等于0.75，这样为最大概率。

13 某个一直函数返回0/1，0的概率为p，写一函数返回两数概率相等。

public int g(){ 
        while (true){
            int a = f();
            int b = f();
            if(a!=b){
                return a;
            }  
        } 
    }

14 给你一个函数，这个函数是能得出1-5之间的随机数的，概率相同。现在求1-7之间随机函数

要生成一个1-7的随机数，等可能概率。
首先，考虑第一个问题：等可能概率。随机数是等概率的事件，就是1，2，3，4，5，出现的概率应该是相同的，而不是其中某一种概率大一点。
看这个公式 5（x-1）+x；（x是1-5的随机数）
那么 5（x-1）会是等可能的0，5，10，15，20
x会是等可能的1，2，3，4，5；
那么这个值就是等可能的0-25。
然后，考虑第二个问题：如何产生1-7？
产生1-7最直观的方法就是：对7取模加一；
但是0-25对7取模最后结果0-6产生的概率不一样；
很简单，如果大于21，再随机一次就好了。

int random7() {
    int x = 5 * (random5() - 1) + random5() - 1;
    if (x > 20) return random7();  //晒选的过程  
    return x % 7 + 1;
}

15 X是一个以p的概率产生1,1-p的概率产生0的随机变量，利用X等概率生成1-n的数

调用n次，每次出一个位，这样每个的概率都是p*(1-p)^n

有个输出0和1的BIASED RANDOM，它以概率p输出1，以概率1-p输出0，以此RANDOM函数为基础，生成另一个RANDOM函数，该函数以1/2的概率输出1，以1/2的概率输出0

两次调用该RANDOM函数，如果其概率为P(x)，调用2次
P(1) = p P(0) = 1-p
P'(1) =p P'(0) = 1-p
概率如下：
11 pp 10 p(1-p)
01 (1-p)p 00 (1-p)(1-p)

int random_0_1()  
{  
    int i = RANDOM();  
    int j = RANDOM();  
    int result;  
  
    while (true)  
    {  
        if (i == 0 && j == 1)  
        {  
            result = 0;  
            break;  
        }  
        else if (i == 1 && j == 0)  
        {  
            result = 1;  
            break;  
        }  
        else  
            continue;  
    }  
  
    return result;  
}

16 一个硬币，你如何获得2/3的概率。

17 怎么计算圆周率π的值(蒙特卡洛采样)

在一个边长为a的正方形内一均匀概率随机投点，该点落在此正方形的内切圆中的概率即为内切圆与正方形的面积比值，即：Pi * (a / 2)^2 */a^2 = Pi / 4

%总的实验次数
n = input('请输入n:');
%落在圆中点的次数
m = 0;
%使用的圆的半径
a = 2;
%循环实验
for i = 1:n
    x = rand * a / 2;
    y = rand * a / 2;
    if (x^2 + y^2 <= (a/2)^2)
        m = m + 1;
    end
end
%显示结果
fprintf('当总实验次数n = %d时计算出来的圆周率:Pi = %d\n',n, 4 * m / n);

18 网游中有个抽奖活动，抽中各星座的概率为10/200，20/200，。。。120/200.如何实现？

19 给一个概率分布均匀的随机数发生器，给一串float型的数，希望通过这个随机数发生器实现对这串数进行随机采样，要求是如果其中的某个数值越大，那么它被采样到的概率也越大

sigmoid函数

20 随机数生成算法，一个float数组相同元素的和除以整个数组的和做为抽取该元素的概率，实现按这种概率随机抽取数组中的元素的算法。

21一本无数个字的书从前往后读，某个时间点突然暂停并返回之前读过的某个字，要求每个字返回的概率是一样的。

22 一个有n*n个方格的棋盘，在里面放m个地雷，如何放保证在每个方格上放雷的概率相等。

23 一根棍子折三段能组成三角形的概率

设长L的棍子任意折成3段的长度分别是x,y和z=L-(x+y)
三段能构成三角形,则
x+y＞z, 即 x +y>(L-x-y), x +y>L/2
y+z＞x, 即 y +(L-x-y)>x, x＜L/2
z+x＞y, 即 (L-x-y)+x>y, y＜L/2
所求概率等于x+y=L/2、x=L/2、y=L/2三条直线所包围图形的面积除以直线(x+y)=L与x轴、y轴所包围图形的面积（图略）。
故长L的棍子任意折成3段，此3段能构成一个三角形的概率是是
（L/2L/21/2）÷（LL1/2）=L^2/8÷(L2/2)=1/4

24 一个圆上三个点形成钝角的概率是多少？假如两个点和圆心形成的圆心角已经是直角，那么第三个和这两个点形成钝角的概率是多少？

只要三个点在半圆弧范围以内,就构成钝角三角形,而不在半圆弧范围以内,就构不成钝角三角形,
所以构成钝角三角形的概率是1/2
已经是直角时1/4

25 X，Y独立均服从（0,1）上的均匀分布，P{X^2+Y2≤1}等于

画出图，是1/4圆面积，所以等于1/4*pi

26 一个圆，在圆上随机取3个点，这3个点组成锐角三角形的概率。

对于这三个点,容易知道,当A、B、C三点都在同一个半圆内时,三角形ABC必然是直角或钝角三角形,只有当三点不在同一个半圆内,才可以组成锐角三角形，则题目转化为“在圆周上任取三个不同的点,求它们不处在同一半圆内的概率”其概率值为 1/2*1/2=1/4

27 一个袋子里有100个黑球和100个白球，每次随机拿出两个球丢掉，如果丢掉的是不同颜色的球，则从其他地方补充一个黑球到袋子里，如果颜色相同，则补充一个白球到袋子里。问：最后一个球是黑球和白球的概率分别为多大？

使用(黑球个数, 白球个数)来表示桶中黑球和白球的个数变动，正数表示增加，负数表示减少，根据规则找规律：
1、如果每次从桶里面拿出两个白球，则应放入一个黑球：(0, -2) + (1, 0) = (1, -2)；
2、如果每次从桶里面拿出两个黑球，则应放入一个黑球：(-2, 0) + (1, 0) = (-1, 0)；
3、如果每次从桶里面拿出一个白球和一个黑球，则应放入一个白球：(-1, -1) + (0, 1) = (-1, 0)；
从以上各种情况可以看出以下规律：
1）每次都会减少一个球，那么最后的结果肯定是桶内只剩一个球，要么是白球，要么是黑球；
2）每次拿球后，白球的数目要么不变，要么两个两个地减少；
所以从上面的分析可以得知，最后不可能只剩下一个白球，那么必然就只能是黑球了。

28 扔骰子，最多扔两次，第一次扔完可以自行决定要不要扔第二次，去最后一次扔色子的结果为准，求：尽可能得到最大点数的数学期望

两人轮流扔硬币，扔出正面获胜，求：先扔者获胜的概率

设甲先抛。设甲胜率为x。则第一次甲抛了反面后，乙胜率为x，从而甲胜率+乙胜率=x+0.5x=1，从而x=2/3。

a b c 分别循环投掷硬币，直到正面出现胜利，求a b c获胜的概率

P(B) = 1/2*P(A); P(C) = 1/4 * P(A); P(A) + P(B) + P(C) = 1;
得P(A) = 4/7, P(B) = 2/7, P(C) = 1/7

硬币正反概率是1/2,一直抛硬币,直到连续两次正面停止，问期望次数

假设期望次数是E，我们开始扔，有如下几种情况：
• 扔到的是反面，那么就要重新仍，所以是0.5(1 + E)
• 扔到的是正面，再扔一次又反面了，则是0.25(2 + E)
• 扔到两次，都是正面，结束，则是0.252
所以递归来看E = 0.5(1 + E) + 0.25(2 + E) + 0.252，解得E = 6

29 某大公司有这么一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工全部放假一天。但在其余时候，所有员工都没有假期，必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大？

E=n*(1-1/365)^n，求导，得n=365

30 不存储数据流的前提下,从输入流中获得这 n 个等概率的随机数据。

31 某段公路上1小时有车通过的概率是0.96，半小时有车通过的概率是多少

1个小时内有车通过的概率是0.96，那么个一个小时内没有车通过的概率是0.04。
题目故意给出1个小时的单位来迷惑我们。我们可以把单位分解为30分钟：
就相当于在连续的两个30分钟里面都没有出现任何车辆
即x² ＝ 0.04 解得 x＝0.2
那么半小时内出现车辆的概率就是0.8.

32 一个公交站在1分钟内有车经过概率是p，问3分钟内有车经过概率

1-(1-p)^3

33 8支球队循环赛，前四名晋级。求晋级可能性

34 一个活动，女生们手里都拿着长短不一的玫瑰花，无序地排成一排，一个男生从队头走到队尾，试图拿到尽可能长的玫瑰花，规则是:一旦他拿了一朵，后面就不能再拿了，如果错过了某朵花，就不能再回头，问最好的策略是什么?

牛客原题，1/e

35 三个范围在0-1的数，和也在0-1的概率。

设所取的三个数分别为 x、y、z ,
则 0<x<1,0<y<1,0<z<1 ,
满足上述条件的点 P（x,y,z）构成一个棱长为 1 的正方体,体积为 V=111=1 ,
满足 x+y+z=1 的点是分别过（1,0,0）、（0,1,0）、（0,0,1）的平面,
而满足 x+y+z<1 的点位于正方体内、平面的下方,体积为 V1=1/31/2111=1/6 ,

概率1: 11个球，1个特殊球，两个人无放回拿球，问第一个人取到特殊球的概率

10!*6/11!

概率2: 11个球，1个特殊球，两个人有放回拿球，问先拿到这个特殊球的概率

抛硬币，正面继续抛，反面不抛。问抛的次数的期望。

几何分布,P=(1-p)^(x-1)p
E=求和xP(x)，几何分布，期望为1/p=2

抛的硬币直到连续出现两次正面为止，平均要扔多少次

马尔可夫链，可做图求解递归方程