高等代数理论基础56：不变因子

不变因子

行列式因子

定义：设 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 的秩为r,对 $k\in Z_+,1\le k\le r$ , $A(\lambda)$ 中必有非零的k级子式, $A(\lambda)$ 中全部

k级子式的首项系数为1的最大公因式 $D_k(\lambda)$ 称为 $A(\lambda)$ 的k级行列式因子

定理：等价的 $\lambda$ -矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子

证明：

$只需证\lambda-矩阵经过一次初等变换,秩与行列式因子不变$

$设\lambda-矩阵A(\lambda)经过一次初等行变换变成B(\lambda)$

$f(\lambda),g(\lambda)分别为A(\lambda),B(\lambda)的k级行列式因子$

$下证f=g$

$1.A(\lambda)经第一种初等行变换变成B(\lambda)$

$此时,B(\lambda)的每个k级子式或等于A(\lambda)的某个k级子式,或与A(\lambda)的某个k级子式反号$

$\therefore f(\lambda)是B(\lambda)的k级子式的公因式$

$\therefore f(\lambda)|g(\lambda)$

$2.A(\lambda)经第二种初等行变换变成B(\lambda)$

$此时B(\lambda)的每个k级子式或等于A(\lambda)的某个k级子式,或等于A(\lambda)的某个k级子式的c倍$

$\therefore f(\lambda)是B(\lambda)的k级子式的公因式$

$\therefore f(\lambda)|g(\lambda)$

$3.A(\lambda)经第三种初等行变换变成B(\lambda)$

$此时B(\lambda)中那些包含i行与j行的k级子式和那些不包含i行的k级子式都等于A(\lambda)中对应的k级子式$

$按i行分成两部分$

$而等于A(\lambda)的一个k级子式与另一个k级子式的\pm \varphi(\lambda)倍的和$

$即A(\lambda)的两个k级子式的组合$

$\therefore f(\lambda)是B(\lambda)的k级子式的公因式$

$\therefore f(\lambda)|g(\lambda)$

$对列变换,可完全一样讨论$

$若A(\lambda)经过一次初等变换变成B(\lambda)$

$则f(\lambda)|g(\lambda)$

$由初等变换的可逆性$

$B(\lambda)也可经一次初等变换变成A(\lambda)$

$\therefore g(\lambda)|f(\lambda)$

$\therefore f(\lambda)=g(\lambda)$

$当A(\lambda)的全部k级子式为零时$

$B(\lambda)的全部k级子式也为零$

$反之亦然$

$\therefore A(\lambda)与B(\lambda)既有相同的各级行列式因子$

$又有相同的只\qquad\mathcal{Q.E.D}$

计算标准形矩阵的行列式因子

设标准形为

$\begin{pmatrix}d_1(\lambda)\\ &d_2(\lambda)\\ & &\ddots\\ & & &d_r(\lambda)\\ & & & &0\\ & & & & &\ddots\\ & & & & & &0\end{pmatrix}$

其中 $d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_r(\lambda)$ 是首一多项式,且 $d_1(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)(i=1,2,\cdots,r-1)$

易证,在这种形式的矩阵中,若一个k级子式包含的行与列的标号不完全相同,则该k级子式一定为零

为计算k级行列式因子,只要看由 $i_1,i_2,\cdots,i_k$ 行与 $i_1,i_2,\cdots,i_k$ 列( $1\le i_1\lt i_2\lt\cdots\lt i_k\le r$ )组成的k级子式即可

而该k级子式等于 $d_{i_1}(\lambda)d_{i_2}(\lambda)\cdots d_{i_k}(\lambda)$

显然,该k级子式的最大公因式为 $d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda)$

定理： $\lambda$ -矩阵的标准形是唯一的

证明：

$设\begin{pmatrix}d_1(\lambda)\\ &d_2(\lambda)\\ & &\ddots\\ & & &d_r(\lambda)\\ & & & &0\\ & & & & &\ddots\\ & & & & & &0\end{pmatrix}为A(\lambda)的标准形$

$\because 他们等价$

$\therefore 他们有相同的秩与相同的行列式因子$

$\therefore A(\lambda)的秩即标准形的主对角线上非零元素个数r$

$A(\lambda)的k级行列式因子即D_k(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda)(k=1,2,\cdots,r)$

$\therefore d_1(\lambda)=D_1(\lambda),d_2(\lambda)={D_2(\lambda)\over D_1(\lambda)},\cdots,d_r(\lambda)={D_r(\lambda)\over D_{r-1}(\lambda)}$

$\therefore A(\lambda)的标准形的主对角线上的非零元素是被A(\lambda)的行列式因子唯一决定$

$\therefore A(\lambda)的标准形唯一\qquad\mathcal{Q.E.D}$

不变因子

定义：标准形的主对角线上非零元素 $d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_r(\lambda)$ 称为 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 的不变因子

定理：两个 $\lambda$ -矩阵等价的充要条件为它们有相同的行列式因子,或它们有相同的不变因子

证明：

$由\lambda-矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系$

$行列式因子与不变因子是相互确定的$

$\therefore 两个矩阵有相同的各级行列式因子,即它们有相同的各级不变因子$

$必要性,显然$

$充分性$

$若\lambda-矩阵A(\lambda)与B(\lambda)有相同的不变因子$

$则A(\lambda)与B(\lambda)和同一个标准形等价$

$\therefore A(\lambda)与B(\lambda)等价\qquad\mathcal{Q.E.D}$

在 $\lambda$ -矩阵的行列式因子之间,有关系 $D_k(\lambda)|D_{k+1}(\lambda)(k=1,2,\cdots,r-1)$

计算 $\lambda$ -矩阵的行列式因子时,常先计算最高级的行列式因子,则大致有低级行列式因子的范围

可逆矩阵的标准形

设 $A(\lambda)$ 为一个 $n\times n$ 可逆矩阵

$|A(\lambda)|=d$ ,其中d为一非零常数,即 $D_n(\lambda)=1$

$D_k(\lambda)=1(k=1,2,\cdots,n)$ ,故 $d_k(\lambda)=1(k=1,2,\cdots,n)$

故,可逆矩阵的标准形是单位矩阵E

反之,与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆的,因为它的行列式为一非零的数

即,矩阵可逆的充要条件为它与单位矩阵等价

又矩阵 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 等价的充要条件为有一系列初等矩阵 $P_1,P_2,\cdots,P_l,Q_1,Q_2,\cdots,Q_t$ ,使 $A(\lambda)=P_1P_2\cdots P_lB(\lambda)Q_1Q_2\cdots Q_t$

特别地,当 $B(\lambda)=E$ 时,可得定理

定理：矩阵 $A(\lambda)$ 是可逆的充要条件为它可表成一些初等矩阵的成绩

推论：两个 $s\times n$ 的 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 等价的充要条件为有一个 $s\times s$ 可逆矩阵 $P(\lambda)$ 与一个 $n\times n$ 可逆矩阵 $Q(\lambda)$ ,使 $B(\lambda)=P(\lambda)A(\lambda)Q(\lambda)$

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