第三章习题

title: 第三章习题
category: 习题
date: 2019/09/10
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1.证明每个从一维向量空间到其自身的线性映射都是乘以某个标量。准确地说，证明：如果 $dim V=1,T\in \mathcal{L}(V,V)$ ,
那么有 $a \in F$ 使得对所有 $v\in V$ 都有 $Tv=av$ .

证明：因为一维向量到其自身的线性映射的维度为1×1=1，所以矩阵可以写作一维的。一维矩阵可以用一个标量表示。
即 $V={(x),x\in F}$ , $\mathcal{M}(T)=Mat(1,1,F)$
$\mathcal{M}(T)v=Mat(1,1,F)v=av$

$\blacksquare$

2.给出一个非线性函数 $\mathcal{f}:R^2\to R$ , 使得对所有 $a\in R$ 和所 $v\in R^2$ 都有:
$\mathcal{f}(av)=a\mathcal{f}(v)$ .

答：即要满足齐性而不满足加性，如果一个函数 $f(x_1)+f(x_2)\not = f(x_1+x_2)$ 即可。设 $f=|x|+|y|$

$\blacksquare$

3.设 V 是有限维的。证明 V 的子空间上的线性映射可以扩张成 V 上的线性映射。也就是说，证明：如果 U 是 V 的子空间， $S\in \mathcal{L}(U,W)$ , 那么存在 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ,使得对所有 $u\in U$ 都有 $Tu = Su$ .

参考答案:
设U是V的子空间并且 $S\in \mathcal{L}(U,W)$ .设 $(u_1,...,u_m)$ 是U的基。那么 $(u_1,...,u_m)$ 在V中线性无关。就能通过扩张 $(u_1,...,u_m,v_1,...,v_n)$ 成V的一个基。
只要定义 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ,
$T(a_1u_1+...a_mu_m+b_1v_1+..b_nv_n)=a_1Su_1+...+a_mSu_m.$
则 $Tu=Su,u\in U$

核心的意思是：如果V可以映射成U，那么U能映射成W,V也可以映射成W。
U是V的子集，可以舍弃某些基来形成子集。

4.设 T 是从 V 到 F 的线性映射。证明：若 $u\in V$ 不含于null T, 则 $V=null T \oplus{au:a\in F}.$

参考答案:
设 $v\in V 并且 v\not \in null T.$
1).如果 $a\in F并且 au\in null F$ 。那么 $0=T(au)=aTu$ ,因为 $Tu\not =0$ , $a=0.$
因此： $null T\cap\{au:a\in F\}=\{0\}$
2)如果 $v\in V$ ,那么 $v=\lgroup v-\frac{Tv}{Tu}u \rgroup +\frac{Tv}{Tu}u.$
因为 $T\lgroup v-\frac{Tv}{Tu}u \rgroup= Tv-\frac{Tv}{Tu}Tu =0$
则有: $Tv=\frac{Tv}{Tu}Tu+0$ , $v=\frac{Tv}{Tu}u+null T$
上面的等式表示任意向量 $v\in V$ 是null T和一个标量缩放u的和。
即 $V=null T+\{au:a\in F\}$ .

根据直和的判断方式可知 $V=null T \oplus{au:a\in F}.$

注意映射空间是F，才有Tv/Tu

5.设 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 是单的,并且 $(v_1,\dots ,v_n)$ 在 V 中线性无关.证明 $(Tv_1,\dots,Tv_n)$ 在 W 中线性无关。
证明：T单的，只有当v=0时，Tv=0。
$(v_1,\dots ,v_n)$ 在 V 中线性无关,则有:
$a_1v_1+ \dots +a_nv_n=0\Leftrightarrow a_1,\dots,a_n=0$$若a_1v_1+ \dots +a_nv_n\not=0,因为T是单的，a_1Tv_1+ \dots +a_nTv_n\not=0,$ 所以： $(Tv_1,\dots,Tv_n)$ 在 W 中线性无关

参考答案:
假设必存在一组系数 $( a_1,\dots,a_n)$ 使得
$a_1Tv_1+ \dots +a_nTv_n=0$ .
根据线性映射的结合律得出 $T(a_1v_1+ \dots +a_nv_n)=0$
又因为T是单的，只有当 $a_1v_1+ \dots +a_nv_n=0$ 时上式成立。
又因 $(v_1,\dots ,v_n)$ 在 V 中线性无关，所以 $a_1v_1+ \dots +a_nv_n=0\Leftrightarrow a_1,\dots,a_n=0$
那么可以得出 $(Tv_1,\dots,Tv_n)$ 在 W 中线性无关。

6.证明：如果 $S_1,\dots ,S_n$ 都是单的线性映射,并且 $S_1\cdots S_n$ 有意义,那么 $S_1\cdots S_n$ 是单的．

证明：对于原空间 $V_m$ 和映射空间 $W_m$ , $映射S_m是单的一个性质为：dimV_m\ge dim W_m.$
则对于 $V_1,W_n$ 经过 $S_1\cdots S_n$ 层层映射后，可定有 $dim V_1\ge W_n$ .
那么线性映射 $S_1\cdots S_n$ 是单的。

参考答案:
设向量 $v\in V$ ,V是线性映射 $S_1\cdots S_n$ 的原空间。
如果 $S_1\cdots S_n(v)=0$ ,因为 $S_1是单的。$
那么 $S_2\cdots S_n(v)=0$ ,经过n次迭代可得 $v=0$ .因此线性映射 $S_1\cdots S_n$ 是单的。

7.证明：如果 $(v_1,\dots,v_n)$ 张成 V , 并且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 是满的，那么 $(Tv_1,\cdots,Tv_n)$ 张成W.

证明：因为 $(v_1,\dots,v_n)$ 张成 V，
则有 $V=span(v_1,\dots,v_n)=\{a_1v_1+\dots+a_nv_n:(a_1,\dots,a_n)\in F\}$ 。
那么 $TV=T(a_1v_1+\dots+a_nv_n)=Ta_1v_1+\dots+Ta_nv_n=a_1Tv_1+\dots+a_nTv_n=span(Tv_1,\dots,Tv_n)$

所有的Tv组成的集合即使值域，并且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 是满的，即 $span(Tv_1,\dots,Tv_n)=TV=W$

上面的描述不准确，主要所有的线性组合这个描述不清晰。参考答案中用任意来代表全部。

参考答案:
设 $(v_1,\dots,v_n)张成V并且T\in \mathcal{L}(V,W)是满的。$
让 $w\in W$ ,因为T是满的，必定存在 $v\in V使得 Tv=w$
由于 $(v_1,\dots,v_n)张成V，即存在a_1,\dots,a_n \in F使得 v=a_1v_1+\dots+a_nv_n$
将上面两个是子同时加以映射T，得到：
$Tv=a_1Tv_1+\dots+a_nTv_n$

因为 $Tv=w,上式得到w\in span(Tv_1,\dots,Tv_n)$ ， $(Tv_1,\cdots,Tv_n)$ 张成W
由于w是W中的任一向量，得出

单射和满射还真是形象：
单射靶上一个点只能有一只箭。
满射是要把映射空间射满，那么靶上有箭必定有人射出。

8.设 V 是有限维的，并且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ . 证明 V 有子空间 U使得 $U\cap null T=\{0\}$ ,
并且 $range T=\{Tu:u\in U\}$ .

证明：因为null T 是V的子空间，那么必定存在一个V的子空间U 使得：
$V=null T\oplus U;$ 从直和的定义中可得 $U\cap null T=\{0\}$ 。
显然： $range T \supset \{Tu:u\in U\}$ . 即U中的元素的映射都不为 $0$ .

要证明包含的另一面，假设 $v \in V.$ 那么就存在 $w\in null T$ 并且 $u' \in U$ 使得：
$v=w+u'$

使用线性映射T同时作用上面的等式两边，就有 $Tv=Tw+Tu'=Tu'$ .因此 $Tv\in \{Tu:u\in U\}$ .

9.证明：如果T是从 $F^4$ 到 $F^2$ 的线性映射，使得
$null T=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in F^4:x_1=5x_2 且 x_3=7x_4\}$ ,那么T是满的。

答：满的定义：range T= W,在这题中既是 range T= $F^2$ 。
因为dim null T=2,因为 $dim range T=dim V- dim null T=2.$
即dim range T=dim W。因为range T是W的子空间，维数相同的子空间既是自身，所以range T= $F^2$ 。

10.证明从 $F^5$ 到 $F^2$ 的线性映射的零空间都不等于：
$\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in F^5:x_1=3x_2且 x_3=x_4=x_5\}$ .

答：已知 $dim \ range \ T= dim V - dim \ null \ T \ge 3$ .
而 $\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in F^5:x_1=3x_2且 x_3=x_4=x_5\}$ .的维度是2.维度不相等的空间不相等。

11.证明：如果在V上有一个线性映射，其零空间和值域都是有限维的，那么V是有限维的。

参考答案:

设T是从V到某个空间的线性映射并且null T,range T都是有限维的。
假设存在向量 $u_1,\dots,u_m,\in V \ 并且 \ w_1,\dots,w_n \in range T$
使得: $(u_1,\dots,u_m)$ 张成null T 且 $(w_1,\dots,w_n)$ 张成 range T.
因为每个 $w_j\in range \ T$ 都存在 $v_j\in V$ .即有 $w_j=Tv_j$ 。
则若 $v\in V$ . $\to Tv\in range T,$ 会存在 $b_1,\dots,b_n\in F$ 使得
$\begin{align} Tv=b_1w_1+\dots+b_nw_n \\ =b_1Tv_1+\dots+b_nTv_n \\ =T(b_1v_1+\dots+b_nv_n) \end{align}$
上面的等式显示出 $T(v-b_1v_1-\dots -b_nv_n)=0$
也就是 $v-b_1v_1-\dots -b_nv_n \in null\ T$
就会存在 $a_1,\dots,a_m\in F$ 使得：
$v-b_1v_1-\dots -b_nv_n=a_1u_1+\dots+a_mu_m$ .

上面的等式也可以写成: $v=a_1u_1+\dots+a_mu_m+b_1v_1+\dots+b_nv_n$
上面的等式显示任意向量 $v\in V$ 都是 $(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n)$ 的线性组合。
即 $(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n)$ 张成V，则V是有限维的。

12.设V和W都是有限维的。证明存在从V到W的满的线性映射当且仅当 $dim W \le dim V$ .
答：
正推：有range T=W .因 dim null T=dim V- dim rang T $\ge 0$ ,即 dim range T= dim W $\le$ dim V

反推：设 $span(v_1,\dots,v_n)=V,span(w_1,\dots,w_m)=W$ 。
假设 $dim W \le dim V$ .现在定义一个满映射T即可。
$定义对于，a_1,\dots,a_n\in F,有(a_1v_1,\dots,a_nv_n)=a_1w_1+a_mw_m$

因为 $dim W\le dim V,则 m\le n$
至此，对于任意的 $(a_1,\dots,a_m)$ 都有 $(a1,\dots,a_n)$ 与其对应。所以这个映射是满的。

13.设V和W都是有限维的，并且U是V的子空间。证明：存在 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 使得null T=U当且仅当 $dim U \ge dim V- dim W.$
答：
正推：若对于 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 且null T=U 。
因为V是有限维的，那么 $dim \ range\ T\le$ dim W $\Rightarrow$
$dim \ U=dim \ null T=dim \ V- dim \ range \ T \ge dim\ V-dim\ W.$

反推：设 $span(u_1,\dots,u_m)=U,span(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n)=V$ ， $span(w_1,\dots,w_p)=W$ 。
假设 $dim U \ge dim V- dim W.$ 现在定义一个T使得null T=U即可。
$定义对于，a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_n\in F,有T(a_1v_1+\dots+a_mv_m+b_1v_1+\dots+b_nv_n)$ 使得

$T(a_1v_1+\dots+a_mv_m+b_1v_1+\dots+b_nv_n)=b_1w_1+\dots+b_nw_n.$
因为 $dim W\ge dim V-dim U,$ 则有 $p \ge n$ 所以右边的 $w_n$ 是有意义的。那么就存在 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 使得null T=U

14.设W是有限维的，并且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 。证明：T是单的当且仅当有 $S\in \mathcal{L}(W,V)$ 使得ST是V上的恒等映射。

答：
正推：首先假设T是单的。
定义 $S'为：range \ T \to V,即S'(Tv)=v;$
因为T是单的，所以range T 中的每个元素都可以用唯一的 $Tv$ 来表示。
易得S' 是range T上的线性映射。因为 $range \ T$ 是W的子集，S'可以在W子集中映射到V，就可以扩充 $S\in \mathcal{L}(W,V)$
若 $v\in V,则(ST)v=S(Tv)=S'(Tv)=v$ ,这样ST就是V上的恒等映射了。

反推：假设存在 $S\in \mathcal{L}(W,V)$ 使得ST是V上的恒等映射。
如果 $u,v\in V$ ,使得 $Tu=Tv$ .就有
$u=(ST)(u)=S(Tu)=S(Tv)=(ST)v=v$
即u=v,因此T是单的。

15.设V是有限维的，并且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 。证明：T是满的当且仅当有 $S\in \mathcal{L}(V,W)$ 使得TS是W上的恒等映射。

正推：首先假设T是满的。那么W就等于range T,是有限维的。
设 $(w_1,\dots,w_m)$ 是W的一个基。因为T是满的，对于每个 $v_j\in V$ 必有 $w_j=Tv_j。$
定义： $S\in \mathcal{L}(W,V)$ :
$S(a_1w_1+\dots+a_mw_m)=a_1v_1+\dots+a_mv_m$
那么:
$\begin{align} (TS)(a_1w_1+\dots+a_mw_m) & =T(a_1v_1+\dots+a_mv_m) \\ &=a_1Tv_1+\dots+a_mTv_m \\ &=a_1w_1+\dots+a_mw_m \end{align}$
这样定义S，TS 就是W上的恒等映射。

反推：假设有 $S \in \mathcal{L}(W,V)$ 使得TS是W上的恒等映射。
若 $w\in W,那么T(Sw)=w，因此w\in range \ T.因此range \ T=W.$ 即T是满的。

16.设U和V都是有限维向量空间，并且 $S\in \mathcal{L}(V,W)，T\in \mathcal{L}(U,V)$ .证明：
dim null ST $\le$ dim null S + dim null T.

答：定义线性映射T'为： $null \ ST \to V \ by \ T'u=Tu$
若 $u\in null \ ST,那么S(Tu)=0,即是说Tu\in null S.也就是range\ T' \subset null\ S$

则有：
$\begin{align} dim\ null\ ST &=dim\ null\ T'+dim\ range\ T' \\ & \le dim\ null\ T'+dim\ null\ S \\ & \le dim\ null\ T+dim\ null\ S, \end{align}$
第一行来自命题3.4，第二行是应为子空间的维度小于等于父空间。第三行也是如此。

17.证明矩阵加法和乘法的分配性质成立。也就是说，设A,B,C 都是矩阵，并且A(B+C)有意义。证明AB+AC有意义，并且A(B+C)=AB+AC.

参考答案:

因为 $A(B+C)$ 有意义，B和C必须有相同的大小。并且A的列数必须等于B和C的行数。这就使得AB+AC是有意义的。
要证明A(B+C)=AB+AC，使用矩阵加法，乘法和标量的分配律。
设 $a_{j,k},b_{j,k},c_{j,k}来表示A，B，C中第j行，第k列的元素。$
则B+C的j行k列的元素就是 $b_{j,k}+c_{j,k}$
则A(B+C)的j行k列的元素就是
$\sum_{r=1}^{n}a_{j,r}(b_{r,k}+c_{r,k})$

18.证明矩阵乘法是结合的。也就是说，设A,B,C都是矩阵，并且(AB)C有意义。证明：A(BC)有意义，并且(AB)C=A(BC).

答：假设A是 $m\times n$ 型矩阵，B是 $n\times p$ 型矩阵，C是 $p\times q$ 型矩阵。这样的形状才能让(AB)C有意义。设 $R\in \mathcal{L}(F^n,F^m),S\in \mathcal{L}(F^p,F^n),T\in \mathcal{L}(F^q,F^p)$ . $\mathcal{M}(R)=A,\mathcal{M}(S)=B,\mathcal{T}=C$ .对于空间映射与矩阵之间也是可逆线性映射。
就有：
$\begin{align} (AB)C&=(\mathcal{M}(R)\mathcal{M}(S))\mathcal{M}(T) \\ &=\mathcal{M}(RS)\mathcal{M}(T) \\ &=\mathcal{M}((RS)T) \\ &=\mathcal{M}(R)\mathcal{M}(ST)\\ &=\mathcal{M}(R)(\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T))\\ &=A(BC) \end{align}$

19.设 $T \in \mathcal{L}(F^n,F^m)$ .并且
$M(T)=\left[ \begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & &\vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix} \right]$
其中使用了标准基。证明：对于每个 $(x_1,\dots,x_n)\in F^n$ 都有：
$\begin{align}T(x_1,\dots,x_n) &=(a_{1,1}x_1+\dots+a_{1,n}x_n,\dots,\\ &a_{m,1}x_1+\dots+a_{m,n}x_n) \end{align}$ .

参考答案:
设 $x=(x_1,\dots,x_n)\in F^n$ ,使用标准基，有：
$\begin{align} \mathcal{M}(Tv)&=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(x) \\ &=\left[ \begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & &\vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right] \\ &=\left[ \begin{matrix} a_{1,1}x_1+\dots+a_{1,n}x_n \\ \vdots \\ a_{m,1}x_1+\dots+a_{m,n}x_n \end{matrix} \right] \end{align}$
最后一个等式表示： $Tx=(a_{1,1}x_1+\dots+a_{1,n}x_n,\dots,a_{m,1}x_1+\dots+a_{m,n}x_n)$

即得证。

20.设 $(v_1,\dots,v_n)$ 是V的基。证明如下定义的函数 $T:V \to Mat(n,1,F)$
$Tv=\mathcal{M}(v),$
是V到 $Mat(n,1,F)$ 上的可逆线性映射，其中 $\mathcal{M}(v)$ 是 $v \in V$ 关于基 $(v_1,\dots,v_n)$ 的矩阵。
参考答案:
设 $u,w\in V$ ,就可以写成
$u=a_1v_1+\dots+a_nv_n$ , $w=b_1v_1+\dots+b_nv_n$ , 对于一些 $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$ .
就有： $u+w=(a_1+b_1)v_1+\dots+(a_n+b_n)v_n$
因此：
$\begin{align} T(u+w) &=\mathcal{M}(u+w) \\ &=\left[ \begin{matrix} a_1+b_1 \\ \vdots \\ a_n+b_n \end{matrix} \right] \\ &=\left[ \begin{matrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right] \\ &=\mathcal{M}(u)+\mathcal{M}(w)\\ &=Tu+Tw \end{align}$
即满足线性加法原则。

若 $c\in F$ ,那么 $cu=ca_1v_1+\dots+ca_nv_n$ .

因此：
$\begin{align} T(cu) &=\mathcal{M}(cu) \\ &=\left[ \begin{matrix} ca_1 \\ \vdots \\ ca_n \end{matrix} \right] \\ &= c\left[ \begin{matrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right] \\ &=c\mathcal{M}(u) \\ &=cTu \end{align}$
上面证明T映射满足线性齐性。因此T映射满足线性。
如果 $Tu=0,即a_1=\dots=a_n=0,即u=0.就表示T是单的。$
若 $c_1,\dots,c_n\in F$ ,那么 $T(c_1v_1+\dots+c_nv_n)=\left[ \begin{matrix}c_1\\ \vdots \\c_n\end{matrix}\right]$ ,T 是满的。
T既是单的又是满的，那么T就是可逆的。

21.证明：从 $Mat(n,1,F)$ 到 $Mat(m,1,F)$ 的每个线性映射都是乘以某个矩阵。换句话说，证明：如果 $T\in \mathcal{L}(Mat(n,1,F),Mat(m,1,F))$ ,那么有m×n矩阵A是的对每个 $B\in Mat(n,1,F)$ 都有TB=AB.

参考答案:
向量空间 $Mat(n,1,F)$ 和 $Mat(m,1,F)$ 有明显的基(标准基)。设A是映射T标准基组成的矩阵。
注意到如果 $B\in Mat(n,1,F)$ 那么 $\mathcal{M}(B)=B并且\mathcal{M}(TB)=TB.$
$\begin{align} TB&=\mathcal{M}(TB)\\ &=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(B)\\ &=AB \end{align}$

数学真是直接，把对世界的描述和描述的描述都当成矩阵来表示。

22.设V是有限维的，并且 $S,T\in \mathcal{L}(V).$ 证明ST可逆当且仅当S和T都可逆。

参考答案:
正推：首先假设ST是可逆的，因此就存在 $R\in \mathcal{L}(V)$ 使得 $R(ST)=(ST)R=I$ .
如果 $v\in V使得Tv=0$ ,那么就会有：
$\begin{align} v&=Tv\\ &=R(ST)v\\ &=RS(Tv)\\ &=RS(0)\\ &=0 \end{align}$
上式中的 $RS(0)=0$ ,怎么来的呢？依据的是线性映射的加性，即 $T(a)+T(b)=T(a+b),T(0)+T(0)=T(0+0)=T(0)\to T(0)=0$ .

因为假设 $v$ 是null T中的任意一向量，上面的推导表明了 $null\ T={0}$ ,由此推断T是单的。又 $T\in \mathcal{L}(V)$ ,所以T是可逆的。

设 $u\in V，$ 就有：
$\begin{align} u&=Iu\\ &=(ST)Ru\\ &=S(TRu) \end{align}$

上式表明 $u\in range\ S.$ 因为假设 $u$ 是V中的任意向量，那么range S=V.因此S是满的，又 $S\in \mathcal{L}(V)$ ，所以S是可逆的。

反推：假设S和T都是可逆的，那么：
$\begin{align} (ST)(T^{-1}S^{-1})&=S(TT^{-1})S^{-1}\\ &=SS^{-1}\\ &=I \end{align}$
并且，
$\begin{align} (T^{-1}S^{-1})(ST)&=T^{-1}(S^{-1}S)T\\ &=T^{-1}T\\ &=I. \end{align}$
即 $T^{-1}S^{-1}$ 满足ST逆的特性，所以ST是可逆的并且 $(ST)^{-1}=T^{-1}S^{-1}.$

23.设V是有限维的，并且 $S,T\in \mathcal{L}(V).$ 证明ST=I 当且仅当TS=I.

参考答案:

正推：首先设 $ST=I$ ,因为I是可逆映射，就证明了S，T都是可逆的。
上面等式两边都右乘 $T^{-1}$ 可得： $S=T^{-1}$ ,再左乘T，可得 $TS=I$ 。

反推：一样的，先右乘 $S^{-1}$ 得 $T=S^{-1}$ ,再左乘S得 $ST=I$ .

24.设V是有限维的，并且 $T\in \mathcal{L}(V).$ 证明T是恒等映射的标量倍当且仅当对每个 $S\in \mathcal{L}(V).$
都有ST=TS.

参考答案:

正推：首先假设 $T=aI,a\in F.且S\in \mathcal{L}(V)$
那么：
$\begin{align} ST&=S(aI)\\ &=aS\\ &=(aI)S\\ &=TS \end{align}$
反推：设ST=TS,对所有的 $S,T\in \mathcal{L}(V)$ 都成立。首先要证明对于所有的 $v\in V$ , $(v,Tv)$ 在V中是线性相关的.
先设 $v\in V$ 并且假设 $(v,Tv)$ 在V中是线性不相关的。
那么 $(v,Tv)$ 可以扩充成V的一个基 $(v,Tv,u_1,\dots,u_n)$ ,定义 $S(av+bTv+c_1u_1+\dots+c_nu_n)=bv$ .
即 $S(Tv)=v并且Sv=0.$ 那么等式 $S(Tv)=T(Sv)变成等式v=0$ .( $v=S(Tv)=T(Sv)=T(0)=0$ )这个矛盾说明， $(v,Tv)$ 在V中是线性相关的.
线性相关就表示对于每个 $v\in V且V\not=\{0\}$ ,必定存在 $a_v\in F$ 使得 $Tv=a_vv$ .

为了证实T是恒等映射的标量倍，必须证明 $a_v$ 线性无关于 $v$ .
即对于 $v,w\in V 且 V\not ={0}$ ,使 $a_v=a_w$ ,

1.考虑 $(v,w)$ 是线性相关的情况。
那么必存在 $b\in F使得w=bv$ 就有：
$\begin{align} a_ww&=Tw\\ &=T(bv)\\ &=bTv\\ &=b(a_vv)\\ &=a_vw \end{align}$
2.考虑 $(v,w)$ 是线性无关的情况，就有：
$\begin{align} a_{v+w}(v+w)&=T(v+w)\\ &=Tv+Tw\\ &=a_vv+a_ww \end{align}$
上面的式子可以导出： $(a_{v+w}-a_v)v+(a_{v+w}-a_w)w=0$ .因为 $(v,w)$ 是线性无关的，那么 $a_{v+w}=a_v并且a_{v+w}=a_w.再次推导证明a_v=a_w$ ,最终命题得证 $\blacksquare$

25.证明：如果V是有限维的，并且dim V>1,那么V上不可逆算子之集不是 $\mathcal{L}(V)的子空间。$

参考答案:
已知V是有限维的，并且dim V＞1，设n=dim V并且 $(v_1,\dots,v_n)$ 是V的一个基。
定义 $S,T\in \mathcal{L}(V)$ , $S(a_1v_1+\dots+a_nv_n)=a_1v_1,T(a_1v_1+\dots+a_nv_n)=a_2v_2+\dots+a_nv_n$ .
那么S就不是单的，因为 $Sv_2=0$ ,并且T也不是单的,因 $Tv_1=0$ .
S,T不是单的，然而S+T=I,I是可逆的。因为非可逆映射的集不符合加法封闭原则，因此不是 $\mathcal{L}(V)的子空间。$

26.设n是正整数，并且 $a_{i,j}\in F,i,j=1,\dots,n.$ 证明下面的(a)和(b)等价。
(a) 齐次线性方程组
$\begin{align} \sum_{k=1}^{n}a_{1,k}x_k=0 \\ \vdots \\ \sum_{k=1}^{n}a_{n,k}x_k=0 \\ \end{align}$
只有平凡解 $x_1=\dots=x_n=0.$

(b)对于每组 $c_1,\dots,c_n\in F,$ 方程组
$\begin{align} \sum_{k=1}^{n}a_{1,k}x_k=c_1 \\ \vdots \\ \sum_{k=1}^{n}a_{n,k}x_k=c_n \\ \end{align}$
都有解。
注意，此处方程的个数与变量的个数相同。

参考答案:
定义 $T\in \mathcal{L}(F^n)$ ： $T(x_1,\dots,x_n)=(\sum_{k=1}^na_{1,k}x_k,\dots,\sum_{k=1}^na_{n,k}x_k).$

那么其次线性方程组(a) 就说明T是单的(因为 $null\ T=0$ )。而(b)所对应的T是满的，因为( $range\ T=W$ ),由于都是R集中的映射，那么两个T是可逆的，所以(a),(b)两个命题对于各系数，或是T来说都是等价的。

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