第 6 章求解微分问题

Time: 2019-11-21
Title:第 6 章求解微分问题

本章重点：
1.使用定义求导;
2.使用乘积法则、商法则和链式求导法则;
3.求切线方程;
4.速度和加速度;
5.求导数伪装的极限;
6.如何对分段函数求导;
7.使用一个函数图像来画出其导函数的图像

6.1 使用定义求导

1.导数的定义： $f'(x)=\mathop{lim}\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

推论：多项式的导数: $\frac{d}{dx}(x^a)=ax^{a-1}.$

6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数

乘积法则 (版本 1) 如果 $h(x) = f(x)g(x), 那么 h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$

乘积法则 (版本 2) 如果 y = uv, 则 $\frac{dy}{dx}=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}$

乘积法则 (三个变量) 如果 y = uvw, 那么 $\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}vw+u\frac{dv}{dx}w+uv\frac{dw}{dx}$

6.2.4 通过商法则求商函数的导数

商法则 (版本 1) 如果 $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ ,那么 $h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

商法则 (版本 2) 如果 $y=\frac{u}{v},那么\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{du}{dx}v-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数

链式求导法则 (版本 1) 如果 $h(x) = f(g(x)); 那么 h'(x) = f'(g(x))g'(x)$

链式求导法则 (版本 2) 如果 y 是 u 的函数, 并且 u 是 x 的函数, 那么 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

6.3 求切线方程

(1) 求斜率, 通过求导函数并代入给定的 x 值;
(2) 求直线上的一点, 通过将给定的 x 值代入原始函数本身得到 y 坐标, 将坐标写在一起并称之为点 $(x0, y0)$
(3) 使用点斜式 $y-y0 = m (x - x0)$ 来求方程

6.4 速度和加速度

6.5 导数伪装的极限

如果求解一个极限有困难, 那它或许是一个伪装的导数. 迹象就是, 虚拟变量本身在分母上, 并且分子是两个量的差.

许多极限都是伪装的导数, 而你的工作就是揭开它们的伪装.

6.6 分段函数的导数

注意分段点以及绝对值隐含的分段点。

6.7 直接画出导函数的图像

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 212,542评论 6赞 493
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 90,596评论 3赞 385
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 158,021评论 0赞 348
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 56,682评论 1赞 284
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 65,792评论 6赞 386
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 49,985评论 1赞 291
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,107评论 3赞 410
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 37,845评论 0赞 268
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 44,299评论 1赞 303
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 36,612评论 2赞 327
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 38,747评论 1赞 341
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 34,441评论 4赞 333
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,072评论 3赞 317
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 30,828评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,069评论 1赞 267
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 46,545评论 2赞 362
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 43,658评论 2赞 350

第 6 章 求解微分问题