数学本质上就是玩概念的


上周日晚上,陈俊儒通过爸爸的手机发来一张图片,问题很典型,其实就是对概念的不理解。

学习数学,看似不断地做计算,证明,分析,推理等思维活动,但每一章的开始,很多节课的开始,都有新的定义,比如有理数,无理数,代数式,单项式整式等,以后学习几何了,还会有等腰三角形,直角三角形,平行四边形,矩形,菱形,正方形等。当然,除了定义之外,还有许多性质、判定,定理,基本事实等,而所有这些都是数学中的概念,如果想要学好数学,理解概念,正确地运用概念来解题,是很有效的一种途径,许多学生不懂得这一学习数学的秘诀,导致东错西错,还误以为是自己的粗心,其实本质上是对概念没有理解透,没有掌握好,更不会及时灵活运用,所以,有数学家说过,数学本质上是玩概念的,这是至理名言。

比如,上述学生的问题。

就要明白什么是整式,单形式,甚至多项式,代数式等,不妨来理一下。

七年级上册数学学习内容,首先还是数,从小学时的自然数,分数,开始扩充到了有理数,然后第三章又扩充到了实数。但是为了更简洁,和更具有一般性,第四章开始出现了用字母代替数,其实就是初中的代数领域。于是代替数字的字母可以像数字一样参加运算。

所以,首先出现了代数式额概念,由数,表示数额字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式,如-3x^3+xy^2-1,单独的一个数3或者一个字母a也成代数式。

这个定义中的运算符号包括加,减,乘,除,乘方,开方等,按照这个定义,上述四个数学表达式都是代数式,其实区别就在于,初中出现的等号,不等号都是关系符号,而不是运算符号,所以,方程x^2+2x=1 ,不等式x\leq 5都不是代数式。要注意的是\frac{2}{a}  \sqrt{x} 这样分母里含有字母的,或者根号里含有字母的也都是代数式,因为它们是用除法,或开方运算得到的,但要小心的是,它们却不失单项式,或者整式,这是近阶段学生最容易搞错的,其实是以后要学习的分式和根式。不妨从概念上来理解。

先看单项式\frac{2}{3} x^2,由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,单独的一个数\pi 或者字母a也是单项式,所以单项式这里的运算符号只有一种,\times ,有人说\frac{2}{3} 不就有除号吗?记住,这是一个数,于是\frac{2}{a} 出现除号,也就是分母里有字母的,\sqrt{x} 出现根号,也就是根号内有字母的,都不是单项式。

那么多项式就简单了,可以由单项式组成,由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式,比如-3x^2+2x-12 ,就是多项式,最后,单项式和多项式统称为整式。由于\frac{2}{a} \sqrt{x} 不是单项式,所以就肯定不是整式。而它们分别叫做分式,根式,是不属于整式范畴的。

所以,学习数学一定要从概念着手去不断辨析,仔细斟酌,才能提高学习能力,进而取得好的成绩,最终能够入门到数学领域中。

最后来回答陈俊儒的问题。第一个\sqrt{x^2+1} 出现了根号,所以不是单项式,也就不是整式;第二个\sqrt{x} 出现了根号,所以不是单项式;第三个\sqrt[3]{x} 出现了3次根号,所以不是单项式,是根式;第四个\sqrt{a^2 } 出现了根号,所以不是单项式。

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