汝阳县城关镇第三初级中学 谷会霞
这是刚刚出炉的洛阳一模试卷的第22题。
题目并不长，简单明了，一看图形，一读题目，就知道是典型的手拉手问题。
第一问：观察猜想。没有任何的难度，填两个空：拉手线CD、BE的数量关系和位置关系。这是手拉手模型里最常用的两大结论，毫无疑问，相等和垂直。
第二问：类比探究，换角度（由90°改为60°），添条件（四个中点），所问的线段也发生了变化（由CD、BE改为GM、FH），难度升级。
我们不妨先利用22题惯用招数——照搬，不考虑多出的条件，依然可以证明一对三角形全等，进而得出拉手线相等，拉手线夹角的度数（与共顶点处夹角相等）。
再来考虑添加的条件和问题中提到的两条线段。将图形简化，发现这就是中点四边形的问题。由多中点想到三角形的中位线，能得出四条中位线：GF、GH、HM、MF。它们分别等于BD、CE的一半，于是中点四边形四边相等即可判定为菱形，所求线段GM、FH为菱形的对角线，位置关系迎刃而解：互相垂直平分。
数量关系如何解决呢？转化拉手线夹角可以得出菱形一个锐角为60°，而菱形的性质：对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角。利用锐角三角函数知识30°角的正切值可得数量关系GM=√3FH。
第三问：解决问题。角度改为任意值，添加线段长度，求四边形面积的取值范围。一般情况下，第三问就是应用前面的结论或思路解决新的问题。
1、应用前两问的结论：拉手线相等，拉手线夹角为α，很容易得出四边形GHMF为菱形，一个内角为α，此为不变量。
2、菱形面积计算方法。已知一个内角考虑用边长做底，用底乘高来算面积。（用对角线来求面积也是可以的，为什么不用？）于是得出S=FM·HM·sinα=FM＾2sinα=¼CD＾2sinα。
此时，问题已经转化为线段BD的取值范围问题了，什么也不用管了，目标很明确。
3、去伪存真。只有线段AB=2，AD=3，而AC=AB=2，点C绕着点A旋转任意度数，求CD取值范围。易得3-2≤CD≤3+2，于是，问题解决：1/4sinα≤S≤25/4sinα。
再思考：如果改一改，利用第一个图，即α为90°呢？发现这样一改，无论从周长上还是面积上设计问题都显得简单了，不由由衷佩服这道题的原创者。一道题综合涉及：全等三角形、三角形的中位线、菱形的判定、性质、以及菱形的面积计算、锐角三角函数、线段的最值。每一个问题的设计环环相扣，特别是第二个问题的设计即有延伸又承上启下，为第三问做题埋下伏笔，妙不可言！
作为一名数学老师，不应该是单一的去做题，而要深入的研究数学题。
研究的目的，使自己具有一双慧眼，识别本质，以便抓住问题的本质，一举击破难题；教会学生剥茧抽丝，化整为零，各个击破！
研究的目的还在传达给学生数学学习的方法——转化和类比：化未知为已知，类比已知得结论。
更要让学生体会解题策略：化整为零，各个击破。把一个难题分解为几个熟悉的小问题，用自己脑子里储存的数学模型来各个击破，使问题得以解决。
总体思想：以不变应万变，转化条件，化繁为简，去伪存真！
数学最大的魅力不仅在做题，还在于探索和研究！
让我们做一束光，照亮学生数学思维的空间，明媚学生一颗热爱数学的心！
