板刷计划:ARC067

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前言;又被组合数学dp教训了

C.水题

D.SB题

E.纯组合数学 + 动态规划(好题)

题目大意:

将n个人划分成若干组。 每一组大小sz\in [A,B],每个大小出现的次数要么为0次，要么为[C,D]次.现在给你n,A,B,C,D,问你不同的方案数。两个方案视作不同当且仅当存在两个人，它只在某一个方案中存在于同一个组中.n <=1e3

例如: 7 1 3 1 2

只能分成: 2 + 2 + 3, 方案数为105种.

题目思路:

先考虑这个问题如何计数:通过观察样例不难发现，就是组合数相乘。对于大小相同的组，要除一个全排列打消顺序。

不难利用动态规划:dp(i,j)代表把i个人最多划分成的组的大小为j的方案数.形成前缀和的形式。我们枚举从i个人中选k \in [C,D]个大小为j的组的方案数：

dp(i,j) = dp(i,j-1)+\sum_{k=C}^{D}\frac{i!}{(j!)^k*(i-kj)!} * \frac{1}{A_{k}^{k}}* dp(i - k j,j-1)

注意:式子右边的常系数的推导如下:

C_{n}^{x}*C_{n - x}^{x}*...*C_{n - (k-1)x}^{x} =\frac{n!}{x!*(n-x)!} *\frac{(n-x)!}{x!*(n-2x)!} * ... * \frac{(n - (k-1)x)!}{x!*(n-kx)!} =v

\frac{n!}{(x!)^k *(n-kx)!} . 由于组之间无差别，所以还需要乘一个 \frac{1}{A_{k}^{k}}打消组间顺序.

时间复杂度：

写起来是三重循环的递推,但不是n^3.大约分析如下:(估算复杂度上界)

\sum_{i=1}^n \sum_{j=A}^B\sum_{k=C}^{min(D,\frac{i}{j})}1 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=A}^B \frac{i}{j}=\sum_{i=1}^n i*lni=n^2logn

注：第二步到第三步利用了调和级数定理.

复杂度上界为:\Theta (n^2logn)

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