同济高等数学第七版1.5习题精讲

同济高等数学第七版1.5习题精讲
(1) $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+5}{x-3}$
(2) $\lim _{x \rightarrow \sqrt3} \frac{x^{2}-3}{x^{2}+1}$
(3) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1}$
(4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x^{3}-2 x^{2}+x}{3 x^{2}+2 x}$
(5) $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$
(6) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)$
(7) $\lim _{x \rightarrow \infty}\frac{x^2-1}{2 x^{2}-x-1}$
(8) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac {x^2+x}{x^{4}-3 x^{2}+1}$
(9) $\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-6 x+8}{x^{2}-5 x+4}$
(10) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(2-\frac{1}{x^{2}}\right)$
(11) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)$
(12) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\cdots+(n-1)}{n^{2}}$
(13) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^{3}}$
(14) $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right)$
解：(1) $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+5}{x-3}=-9$ ，此时可以直接代入计算。
(2) $\lim _{x \rightarrow \sqrt3} \frac{x^{2}-3}{x^{2}+1}=0$
(3) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1}= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{(x+1)}= 0$
(4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x^{3}-2 x^{2}+x}{3 x^{2}+2 x} =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x^{2}-2 x+1}{3 x+2 } =\frac{1}{2}$
(5) $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac {x^{2}+2hx+h^2-x^{2}}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac {2hx+h^2}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} 2x+h=2x$
(6) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)=2$
(7) $\lim _{x \rightarrow \infty}\frac{x^2-1}{2 x^{2}-x-1}=\frac{1}{2}$
(8) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac {x^2+x}{x^{4}-3 x^{2}+1}=0$
(9) $\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-6 x+8}{x^{2}-5 x+4}=\lim _{x \rightarrow 4} \frac{(x-2)(x-4)}{(x-1)(x-4)}=\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x-2}{x-1}=\frac{2}{3}$
(10) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(2-\frac{1}{x^{2}}\right)=2$
(11) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\frac{1(1-(\frac{1}{2})^{(n+1)})}{1-\frac{1}{2}}=2$
(12) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\cdots+(n-1)}{n^{2}}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n^{2}}=\frac{1}{2}$
(13) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^{3}}=\frac{1}{5}$ 此题可采用观察法，打开括号后发现分子上面最大项为 $n^3$ 。
(14) $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right)=\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1+x+x^2-3}{1-x^{3}}\right)=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)}=-1$

2.计算下列极限：

(1) $\lim_{x\to 2}\frac{x^3+2x^2}{(x-2)^2}$
(2) $\lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{2x+1}$
(3) $\lim_{x\to \infty}(2x^3-x+1)$

解：(1)因为 $\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)^2}{x^3+2x^2}=0$ ，所以原式等于 $\infty$ .
(2) $\lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{2x+1}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}=\infty$ .
(3)因为 $\lim_{x\to \infty}\frac{1}{2x^3-x+1}=0$ ，所以原式等于 $\infty$ .

3.计算下列极限：

(1) $\lim_{x\to 0}{x^2sin{\frac{1}{x}}}$
(2) $\lim_{x\to \infty}{\frac{arctanx}{x}}$
解：(1)因为当 $x\to 0$ 时， $x^2\to 0$ ，而 $|sin{\frac{1}{x}}|\leq1$ ，所以原式极限为0.

(2)因为当 $x\to \infty$ 时， $\frac{1}{x}\to 0$ ，而 $|arctanx|<\frac{\pi}{2}$ ，所以原式极限为0.

4.设 ${a_n},{b_n},{c_n}$ 均为非负数列，且 $\lim_{n\to \infty}{a_n}=0$ , $\lim_{n\to \infty}{b_n}=1$ , $\lim_{n\to \infty}{c_n}=\infty$ 。下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由：如果是错的，试给出一个反例。

(1) $a_n<b_n,n\in N_+$
(2) $b_n<c_n,n\in N_+$
(3) $\lim_{n\to \infty}a_nc_n$ 不存在
(4) $\lim_{n\to \infty}b_nc_n$ 不存在

解：(1)错误，此时对于所有 $n$ 都要求成立，不一定。例如： $a_n=\frac{1}{n},b_n=\frac{n}{n+1}$ , $a_1=1,b_1=\frac{1}{2}$ .与描述不符。

(2)错误，例如： $b_n=\frac{n+2}{n+1},c_n=n$ , $b_1=\frac{3}{2}c_1=1$ .与描述不符。

(3)错误， $a_n=\frac{1}{n},c_n=n$ , $\lim_{n\to \infty}a_nc_n=1$ .

(4)对。因为 $\lim_{n\to \infty}{b_n}=1，$$\lim_{n\to \infty}{c_n}=\infty$ 。如果 $\lim_{n\to \infty}b_nc_n$ 答案存在，则 $\lim_{n\to \infty}c_n$ = $\lim_{n\to \infty}b_nc_n\frac{1}{b_n}$ = $\lim_{n\to \infty}b_nc_n\lim_{n\to \infty}\frac{1}{b_n}$ 也应该存在，与描述矛盾。

5.下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的。如果是对的，说明理由：如果是错的，试给出一个反例。

(1)如果 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在，但 $\lim_{x\to x_0}g(x)$ 不存在，那么 $\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]$ 不存在。
(2)如果 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 和 $\lim_{x\to x_0}g(x)$ 都不存在，那么 $\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]$ 不存在。
(3)如果 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在，但 $\lim_{x\to x_0}g(x)$ 不存在，那么 $\lim_{x\to x_0}[f(x)·g(x)]$ 不存在。

解：(1)对。因为如果 $\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]$ 存在，则 $\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\to x_0} f(x)+\lim_{x\to x_0} g(x)$ ,说明二者极限都存在，与描述矛盾。

(2)错误。例如： $f(x)=\frac{1}{x},g(x)=-\frac{1}{x}$ .。当 $x \to 0$ 时，二者极限都不存在。但二者相加的极限存在。

(3)错误。例如： $f(x)=x^2,g(x)=\frac{1}{x}$ .当 $x \to 0$ 时，二者相乘的极限存在。

6.证明：证明定理3(2).如果 $\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$ ，那么 $\lim[f(x)g(x)]=\lim f(x)·\lim g(x)$ 。
证明：如果 $\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$ ，则存在如果 $f(x)=A+\alpha,g(x)=B+\beta$ ， $\alpha,\beta$ 都是该种趋势下的无穷小量。则 $f(x)g(x)=(A+\alpha)(B+\beta)=AB+B\alpha+A\beta+B\beta$ 。此时 $B\alpha+A\beta+B\beta$ 都是无穷小量。所以求极限后仅剩下 $AB$ .于是 $\lim[f(x)g(x)]=\lim f(x)·\lim g(x)$ 。