二次函数的图像到底有着怎样的性质呢？从图像上面观察到的性质如何在数的角度上去分析呢？相反，在数的角度上观察到的性质该如何在图像上对应呢？
假如让我们去研究y=x^2+2，还有y=-x^2-2的性质的话，我们可以先猜想一下。
在前几节课里面，我们已经达到了一个共识，那就是二次函数都是一个抛物线，因此，同为二次函数的y=x^2+2和y=-x^2-2的图像肯定也都是一个抛物线。经过我们以前的讨论，我们还知道了，在二次函数表达式里面的y=ax^2+bx+c中的a影响着这个二次函数的开口方向，当a大于零的时候，开口方向就是向上的；相反，当a小于零的时候，开口方向就是向下的。
其实我们就可以一个一个的来分析，先猜想一下y=x^2+2。根据以上达到的共识，我们可以肯定的是，这个图像是一条抛物线，并且因为a大于0，所以开口向上。那么它还有其他的性质吗？再根据几节课我们所发现其它的二次函数的性质，我们也可以进行类比，也就是这个函数的单调性：当x大于零的时候，y随x的增大而增大；当x小于零的时候，y随x的增大而减小。
我们的猜想是正确的吗？为了验证我们的猜想是否正确，我们可以根据这个y=x^2+2解析式来画图，如下图所示：
从图像中我们可以明显的看出来这是一条抛物线，并且开口方向是向上的。那么，它的单调性和我们的猜想是否就是一样的呢？我们可以先确定一个x值，比如当x=- 3时，与其对应的y值就是11；当x=- 2时，与其对应的y值就是6；当x=- 1的时候，它这个图像上随之对应的y值就是3。整体来看，它就是一条斜向下的弧线，因此，我们可以确定当x小于零的时候，y随x的增大而减小。当x=1的时候，图像上对应的y值就是3；当x=2的时候，图像上对应的y值就是6；当x=3的时候，图像上对应的y值就是11。此时我们也就可以确定当x大于零的时候，y随x的增大而增大。同时我们也可以从图像中看出来这个图像关于y轴对称。
以上都是我们从图像上分析的性质，从数上是否也可以分析出来这些性质呢？
首先是这个函数的开口方向，在y=x^2+2中，因为a大于零，所以开口方向就是向上的；其次就是它的单调性，从我们列的表格中可以看出来，当x=- 3时，Y=11；X=- 2时，y=6；X=- 1时，y=3，所以说我们就确定X小于零时y随x的增大而减小。当x=1时，y=3；X=2时，y=6；X=3时，y=11，所以x大于零的时候，y随x的增大而增大；最后就是这个函数的对称性，同样是从表格中，我们可以看出来，当y=11的时候，它对应着的x有两个，分别是3和-3，这到底是为什么呢？我们可以从整个解析式来解释，因为在y=x^2+2中的x方有非负性，无论x是正数或者是负数，当它平方了之后，它一直都是正数，正因为如此，所以x^2+2也就有了非负性，因此y就是个正数，所以当两个x是相反数的时候，那么y就是在同一个点上，这也可以同时来解释一下为什么从图像上看出来整个图像以x轴对称。
在研究了它的性质之后，我们还要研究它的方程和不等式。为了方便，我们通常情况下都把y=0，因此，y=x^2+1就变成了0＝x^2+1。从数上来分析，我们就可以直接计算出来结果，那就是通过移项得到x^2=- 2，但是因为这不成立，因此这个方程无实数解；从形上来讲，我们可以看到，当y=0的时候，没有x值与其对应。
不等式就是x^2+2＞0或者是x^2+2＜0，从数上我们也可以直接计算，但是由于我们现在能力还是不太足够，因此，我们可以直接进行数形结合，从图像上得到这个不等式的解集。首先是x^2+2＞0，也就是y大于零的部分，从图像上可以看出来，整个图像都是y大于零，因此，我们就可以直接说这个解集就是任何实数解。接着就是x^2+2＜0，也就是y小于零的部分，从图像上可以看出来，没有任何一部分是y小于零的，因此，我们可以说，这个解集就是无实数解。
这个就是y=x^2+2的整个探究过程，而y=-x^2-2的探究过程和y=x^2+2的十分相似，唯独不同的就是性质里面的开口方向和单调性不同，y=x^2+2的开口方向是向上，y=-x^2-2的开口方向是向下，从数的角度来讲，就是因为a小于零，而从形的角度来讲，就可以直接看出来了；而y=-x^2-2的单调性就是当x小于零的时候，Y随x的增大而增大，当x大于零的时候，Y随x的增大而减小。此时我们也可以分别从数和形的角度去探究，数的角度就是从列表中可以看出来，当x分别是-3、-2、-1的时候，y分别对应的是-11、-6和-3，因此就可以知道X小于零的时候y随x的增大而增大；当x分别是1、2、3的时候， Y分别是-3、-6和-11，因此当x大于零的时候，y随x的增大而减小。
这就是y=x^2+2和y=-x^2-2的探究过程，首先要对二次函数的图像的性质进行猜想，其次就是列表画图描点，接着就是从图上分析它的性质，就比如说单调性，对称性，开口方向等等，接着就是数形结合，从数上来分析性质，最终就是要分析它的方程和不等式，这样就会对整个二次函数的学习有着更深厚的记忆。
