概率密度与分布函数

分布律与概率密度函数

对于离散型随机变量，我们使用分布律来描述它的概率分布情况
对于连续型随机变量，我们使用概率密度函数来描述它的概率分布情况

离散型随机变量的概率分布

X	-1	0	1	2
$p_{k}$	0.2	0.3	0.1	0.4

概率密度函数

连续型随机变量的概率分布

定义2.3.1:

若存在非负函数 $f(x)$ ，使随机变量X取值于任何区间 $(a,b]$ 的概率可以表示为:

$P\{a < X \leq b\} = \int^{b}_{a}f(x)$

则称X为连续随机变量， $f(x)$ 为X的概率密度函数，简称概率密度

性质:
$\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx = 1$

所有可能的概率之和必为1

连续型随机变量取任意一点的值的概率为零:

$P\{X = a\} \leq P\{a-\varepsilon < X \leq a\} = \int^{a}_{a-\varepsilon}f(x)dx$

令 $\varepsilon \rightarrow 0$ 得上式右端趋进于零，所以 $P\{X = a\} = 0$

因为积分表示的是面积，所以在某个点的积分是0
所以

连续性随机变量X落在区间 $(a,b), (a,b], [a,b), [a,b]$ 上的概率都相等

A的概率虽然是零，但是A有可能发生

常见的连续型随机变量的概率密度函数

1.均匀分布

定义：如果随机变量X的概率密度函数为：
$f(x) = \left\{ \begin{aligned} & \frac{1}{b-a} & \quad a \leq x \leq b,\\ & 0 & \quad 其他, \end{aligned} \right .$
则称X服从 $[a,b]$ 区间上的均匀分布，记作 $X \backsim U[a,b]$ ，其中a,b（a < b)为常数

U取自英文Uniform(均匀)
性质： $X \backsim U[a,b]$ ，则对任意满足 $a \leq c < d \leq b$ ，总有
$P\{ c \leq X \leq d\} = \int^{d}_{c}f(x)dx=\frac{d-c}{b-a}$

2.指数分布

定义：如果随机变量X的概率密度函数为：
$f(x) = \left\{ \begin{aligned} & \lambda e^{-\lambda x}, &\quad x \geq 0,\\ & 0, &\quad x < 0, \end{aligned} \right .$
$\lambda > 0$ 为常数，则称X服从参数为 $\lambda$ 的指数分布

3.正态分布

定义：如果随机变量X的概率密度函数为：
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}} \quad -\infty < x < +\infty$
其中 $\mu, \sigma(\sigma > 0)$ 为常数，则称X服从 $\mu, \sigma$ 的正态分布或高斯分布

特别的，称函数 $\mu = 0, \sigma = 1$ 的正态分布N(0,1)为标准正态分布，记：
$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int ^{x}_{-\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt, \quad -\infty < x < +\infty$

定理：

若随机变量 $X \backsim N(\mu, \sigma ^ 2)$ ，则对任意a, b(a < b)，有
$P\{a < X \leq b \} = \Phi(\frac{b - \mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a - \mu}{\sigma})$

分布函数

设X是一随机变量，称函数
$F(x) = P\{X \leq x\},\quad -\infty < x < +\infty$
为X 的分布函数

性质

1.对任意实数 $a < b$ ，总有 $F(a) \leq F(b)$ (单调不减性)，并且
$P\{a < X \leq b\} = F(b) - F(a)$

2.对任意实数x,总有 $0 \leq F(x) \leq 1$ (有界性)
$F(-\infty) = \lim_{x \rightarrow -\infty} F(x) = 0$
$F(+\infty) = \lim_{x \rightarrow +\infty} F(x) = 1$

3.对于离散型随机变量X，有
$F(x) = \sum_{x_{k}\leq x}p_{k}$

随机变量函数的分布

离散型随机变量函数的分布

例2.4.1:
设随机变量X有如下的概率分布

X	-1	0	1	2
$p_{k}$	0.2	0.3	0.1	0.4

求 $Y = (X - 1)^2$ 的概率分布

$P\{Y = 0\} = P\{X = 1\} = 0.1$
$P\{Y = 1\} = P\{X = 0\} + P\{X = 2\} = 0.7$
$P\{Y = 4\} = P\{X = -1\} = 0.2$

Y	0	1	4
$q_i$	0.1	0.7	0.2

连续型随机变量函数的分布

对于连续型随机变量X，求 $Y = g(X)$ 的概率密度函数的方法是：
根据分布函数的定义先求 $Y = g(X)$ 的分布函数

$F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{g(X) \leq y\}$

然后求上式对y的导数，得到Y的概率密度函数 $f_Y(y) = F'_Y(y)$

反常积分求导公式：
$\frac{d}{dy}\left[ \int ^{b(y)}_{a(y)}f(t)dt \right] = f[b(y)]b'(y) - f[a(y)]a'(y)$

最后编辑于：2020.12.05 19:56:33

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