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编者按>>

2021年12月4日，数学经纬网有幸拜访了北京师范大学严士健教授，与老教授进行了一次座谈。此次拜访，92岁高龄的严老师非常高兴和我们青年学子交流他对数学发展和数学教育的思考，涉及数学应用、数学学习方法、数学帅才、数学教育等若干问题。交流最后，老师和我们分享数学思维的问题，也是他一直在关心、一直想要传达给大家的观点。而我们在这次拜访中不仅收获到这些思想观点，更可贵的是在老师身上感受到老一辈数学家对于数学的赤诚之心，这也更加激励我们在数学的道路上担负使命、勇往直前。

座谈会之后数学经纬网将交流内容整理出来，经老师授权发布，以供大家学习和交流。

图1 严士健

数学如何应用？

数学有什么用？一种是去解决现实（包括各种工程、技术）当中遇到的实际问题。还有一种是解决各种自然科学、社会科学发展过程中遇到的问题。当然，数学也可能在当时表现为无用。比如研究者对于数学某个方向很有兴趣并做出一些优秀成果但是实际上还没有发现它有什么用处。有名的例子是陈景润，他证明了“1+2”的数学成果，虽然没有达到证明哥德巴赫猜想的目的。这项数学研究就是深入，构造巧妙，但在实际生活过程中没有什么用处。这也是人们常说的“数论没有什么用处”的著名例子，但是数论却在20世纪产生了构思巧妙而且有广泛重要应用的“公开密钥”。

下面我们由近及远地举几个数学与技术、物理结缘的著名且极端重要的例子。首先是电脑的发明却起源于大数学家冯·诺依曼与戈德斯坦1944年在阿伯丁火车站等车时关于计算机的一次交谈。这使数学应用到现代电脑的制造，进而发展出现代计算数学、算法语言、软件、一直到人工智能这一套技术的发展，应该说是人尽皆知的大事吧！（李文林：《数学史教程》P328）。又如黎曼几何提出以后数学界认为这是一个重要的进展，开始也没有什么应用。 直到爱因斯坦提出广义相对论，在开始时他是直观的描述，没有形成严格的数学论证，不能得到公认。后来他的一个数学家朋友叫Grassman，向他推荐了黎曼几何这一数学工具。爱因斯坦看了之后，发现可以用于他的直观想法，便用黎曼几何的方法建立方程去表达广义相对论，即使中间经历过数次错误，但还是得出来了最终的结果。不但广义相对论得到世界的公认，黎曼几何也得到发展和广泛的应用。对于数学理论如何转化为数学应用，要看具体的情况。如果你想把已经建立起来或学到的数学理论应用到一个新的领域就比较难。比如麦克斯韦搞出了麦克斯韦方程，推导出来一些重要的电磁学结论，他在世时没有得到实验证实，不能得到公认。但是在他去世以后，却成为了电磁学的基础。

图2 三种几何

有些东西要真正的应用，那可不是容易事。比如数学理论上可以这样操作，但是应用还得考虑对象——实际情况。

怎么学数学？

我中学学习物理时，有时就琢磨瞬时速度和平均速度的问题。（小编：瞬时速度和平均速度是我们在中学时就接触到的概念，但是像严老师这样认真琢磨、理解所学知识的精神，小编我是没有的。从这个小小的例子中我们也体会到了认真思考的重要性。）瞬时速度最精确，因为它是某一瞬时的速度，是固定的。但是怎么计算瞬时速度，怎样比较速度的快慢呢？我们常常选择一小段时间的位移进行研究，其实这个中间过程位移有快有慢，它不是均匀的，于是便讲平均速度。为了更精确，就去把时间缩短一些，那么出现位移变化的状况就变少了，再减少划定时间，位移变化的状况便会越来越少，直到短到是在划定时间范围内位移再也无法变化。后来学微积分的时候老师讲极限，最后使其趋于0，这才理解了无穷小。所以怎么比较同一物体不同时刻或不同物体同一时刻的速度快慢呢？我们就可以通过减小划定时间范围，直到速度在划定时间范围内无法改变的时候便可以比较快慢了。这也是我们所讲的取极限过程。瞬时速度怎么理解呢？其实就是按照在指定的瞬时物体运动的‘快慢’（这里的快慢实际上已经是对物体运动快慢状态的一种抽象）在单位时间内所走的位移，是平均速度的极限。类似思想还体现在物理学中的浓度、密度、压强等概念上，在经济学中也有，在现实中有极其广泛的应用。

图3 疾驰的汽车

学习数学，要去琢磨这些概念是怎么来的。如果跟现实联系很紧密，就可以去琢磨怎么从现实当中的基本事物，把概念抽象出来，包括具体的思路是怎样的。能够和别的事物相联系，或者从现实当中找到对应物，认识便会越来越清晰，这是最基本的思想。

有没有具体的学习方法？华罗庚先生说过：先要把一本书读厚，再去把这本书读薄。读厚的过程中把思路、技能和细节都搞清楚，不要认为书上的某处证明写着显然二字就很显然。如何读薄呢？就要去想这本书讲的什么问题，是怎么想的，一些概念和方法是什么关系，通过什么思路联系在一起的，然后再想办法对思路进行提炼，于是这本书便也读薄了。

发扬团队精神

我们国家提科学、科学技术，但更多提的是科学技术，实际上是强调数学在技术上的应用。有些人为了强调要重视技术中的基本问题提出基础研究，所谓基础研究是指技术中的基本问题。这实质上还是强调技术，而对基础科学实际上是有所忽视的。基础科学是指研究自然世界中的基本规律的科学，它经常并不以应用为主要目的（陈景润的研究便是一个例子），但是它对人类社会（包括技术）的进步和应用常常起到带头的作用。这从文艺复兴以来世界的历史得到充分的证明，从前面的‘数学如何应用’一节的例子也可见一斑。我们国家现在明白了，知道不能只提搞技术、科学技术甚至基础研究，还需要强调基础科学。将基础科学的研究水平提高到世界先进水平，是一个国家具有实力成为强国必备的条件。当然，搞基础科学的人应该努力去想办法，找的研究问题的背景与应用更接近一点。但如果他一时找不着，也别强求。另外，搞基础科学的队伍比搞技术的队伍可以要小一些（要考虑有一部分参加教育工作），要少而精，要能坐冷板凳的人。

我认为科学领域的帅才是很重要，但首先要有培养人的土壤，土壤怎么有呢？首先是要形成一些团队。这个团队之间能够交流，才可能最终出元帅。

中国先要有一大批有真才实学、经过训练、思路很好的人。还要有团队精神，要能互相交流，互相帮助。有了这种良好环境，还要有人愿意坐冷板凳。自己肯下功夫，但是下功夫的过程中彼此相互交流，这是很重要的。有时候就是：我好不容易想的这玩意，我就不告诉你。每个人都这么想，是不行的。

历史上费马大定理的证明就是集众人智慧的结果。人们把法尔廷斯证明的莫德尔猜想、肯·里贝特证明的弗雷命题和怀尔斯证明的谷山——志村猜想联合起来说明费马大定理成立。由于怀尔斯最后证明了谷山—志村猜想，所以说由他完成了费马大定理证明的最后一棒。怀尔斯解决这个猜想一共花了七年，后面发现有漏洞，然后他邀请他的学生泰勒访问，两人又用了将近九个月的时间才最终补上了这个漏洞。

所以我们要养成良好的风气——彼此能够交流、探讨，当然也不排斥与外界的交流。三个臭皮匠顶个诸葛亮，所以也别自己小看自己，年轻人看到什么东西能够互相交流，有些问题搞不懂、啃不动的话，一起看，没有谁挤兑谁，这样形成一个好的空气。不要弄成各搞各的，自己认为自己比别人强。

加强数学思维教育

现在数学教育的问题，就是办班、做题，不会涉及思维方式。大学老师也觉得它不那么重要。我觉得教育有三层，一层是学科本身的理论、知识和技能，一层是本学科和其他学科、技术的联系，还有一层是思维。数学和其他事物的联系是很广的。钱学森进行学科分类，主张把数学单独列出来，成为与自然科学、社会科学并列的一个独立门类。我同意他的主张。这样做可以使人们去学会数学的深刻的内涵，并用它去解决各种问题。这种思想是很深刻的。现在有一个大问题，数学思维如何在群众中间推广。

数学思维不是数学本身，但是数学思维会对人们的生活、工作和教育等产生比较大的影响。数学思维比较抽象。我们平常说数学是讲逻辑，其实数学思维也是有逻辑的，但是它和逻辑又不一样。比如我们学欧几里得几何，它是把公设作为推导的前提，然后进行推证演绎。公设加上基本定理就能建立起一个学科，但是思维的东西就没有了。人的思维能够对实际问题进行抽象。比如说刚才举的速度的例子，这一套分析方法既不是物理，也不是数学，而是一种思维方式。它不仅在学习上能用，在科学研究上也能用，在生活中也能用上。我们说给别人讲道理或谈事情，你能够打动人的，既不是那种最强大脑，也不是那种数学概念，而是这种思维的作用。

在数学思维这个层次，我们通过写文章、通过宣传说动一些中学老师，去努力加强这方面的教育。我觉得这事是件大事，真正这条路是对的。数学思维如果能够在老百姓中扩展，那这个就是很有重大历史意义的成就。

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