高等代数题选1：多项式(1)

多项式题选(1)

1. $m,p,q$ 适合什么条件时,有 $x^2+mx+1|x^4+px^2+q$

解：

$x^2+mx+1|x^4+px^2+q$

$\Leftrightarrow \exists g(x)$ 使 $x^4+px^2+q=(x^2+mx+1)g(x)$

设 $g(x)=x^2+ax+q$ ,代入得

$\begin{cases}a+m=0\\ 1+am+q=p\\ a+qm=0\end{cases}$

$\therefore x^2+mx+1|x^4+px^2+q$

$\Leftrightarrow p=2-m^2,q=1$ 或 $p=q+1,m=0$

2.求 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的商 $q(x)$ 与余式 $r(x)$ ：

$(1)f(x)=2x^5-5x^3-8x,g(x)=x+3$

$\begin{array}{c|ccc}-3&2&0&-5&0&-8&0\\ & &-6&18&-39&117&-327\\\hline &2&-6&13&-39&109&-327\end{array}$

$\therefore q(x)=2x^4-6x^3+13x^2-39x+109,r(x)=-327$

$(2)f(x)=x^3-x^2-x,g(x)=x-1+2i$

$\begin{array}{c|ccc}1-2i&1&-1&-1&0\\ & &1-2i&-4-2i&-9+8i\\\hline &1&-2i&-5-2i&-9+8i\end{array}$

$\therefore q(x)=x^2-2ix-(5+2i),r(x)=-9+8i$

3.把 $f(x)$ 表成 $x-x_0$ 的方幂和,即表成

$c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\cdots$ 的形式：

$(1)f(x)=x^5,x_0=1$

$(2)f(x)=x^4-2x^2+3,x_0=-2$

$(3)f(x)=x^4+2ix^3-(1+i)x^2-3x+7+i,x_0=-i$

解：

$(1)f(x)=x^5,x_0=1$

$\begin{array}{c|ccc}1&1&0&0&0&0&0\\ & &1&1&1&1&1\\\hline 1&1&1&1&1&1&1\\ & &1&2&3&4\\\hline 1&1&2&3&4&5\\ & &1&3&6\\\hline 1&1&3&6&10\\ & &1&4\\\hline 1&1&4&10\\ & &1\\\hline &1&5\end{array}$

$f(x)=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)+1$

$=[(x^3+2x^2+3x+4)(x-1)+5](x-1)+1$

$=(x^3+2x^2+3x+4)(x-1)^2+5(x-1)+1$

$=[(x^2+3x+6)(x-1)+10](x-1)^2+5(x-1)+1$

$=(x^2+3x+6)(x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)+1$

$=[(x+4)(x-1)+10](x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)+1$

$=(x+4)(x-1)^4+10(x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)+1$

$=(x-1)^5+5(x-1)^4+10(x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)+1$

$\therefore x^5=(x-1)^5+5(x-1)^4+10(x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)+1$

$(2)f(x)=x^4-2x^2+3,x_0=-2$

$\begin{array}{c|ccc}-2&1&0&-2&0&3\\ & &-2&4&-4&8\\\hline -2&1&-2&2&-4&11\\ & &-2&8&-20\\\hline -2&1&-4&10&-24\\ & &-2&12\\\hline -2&1&-6&22\\ & &-2\\\hline -2&1&-8\end{array}$

$\therefore f(x)=(x+2)^4-8(x+2)^3+22(x+2)^2-24(x+2)+11$

$(3)f(x)=x^4+2ix^3-(1+i)x^2-3x+7+i,x_0=-i$

$\begin{array}{c|ccc}-i&1&2i&-1-i&-3&7+i\\ & &-i&1&-1&4i\\\hline &1&i&-i&-4&7+5i\\ & &-i&0&-1\\\hline &1&0&-i&-5\\ & &-i&-1\\\hline &1&-i&-1-i\\ & &-i\\\hline &1&-2i\end{array}$

$\therefore f(x)=(x+i)^4-2i(x+i)^2-(1+i)(x+i)^2-5(x+i)+7+5i$

注：

1.设 $f(x)$ 表成 $c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\cdots+c_n(x-x_0)^n$ ,

显然 $c_0$ 为 $f(x)$ 被 $x-x_0$ 除得的余数,

$f(x)=[c_n(x-x_0)^{n-1}+c_{n-1}(x-x_0)^{n-2}+\cdots+c_1](x-x_0)+c_0$

$=f_1(x)(x-x_0)+c_0$

显然 $c_1$ 为 $f_1(x)$ 被 $x-x_0$ 除得的余数

逐次进行综合除法可得系数 $c_0,c_1,\cdots,c_{n-1},c_n$

2.把一个多项式表成 $x-c$ 的方幂和在数学分析求不定积分的分部积分法中有用

4.求 $u(x)$ , $v(x)$ 使 $u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))$ ：

$(1)f(x)=x^4+2x^3-x^2-4x-2,g(x)=x^4+x^3-x^2-2x-2$

$(2)f(x)=4x^4-2x^3-16x^2+5x+9,g(x)=2x^3-x^2-5x+4$

$(3)f(x)=x^4-x^3-4x^2+4x+1,g(x)=x^2-x-1$

解：

$(1)f(x)=x^4+2x^3-x^2-4x-2,g(x)=x^4+x^3-x^2-2x-2$

$\qquad\qquad\qquad\qquad f(x)\qquad\qquad\qquad\qquad g(x)$

$\begin{array}{c|l|l|c}q_1(x)=1&x^4+2x^3-x^2-4x-2&x^4+x^3-x^2-2x-2&q_2(x)=x+1\\ &x^4+x^3-x^2-2x-2&x^4-2x^2& \\ \hline q_3(x)=x&r_1(x)=x^3-2x&x^3+x^2-2x-2\\ &x^3-2x&x^3-2x& \\ \hline &r_3(x)=0&r_2(x)=x^2-2 \end{array}$

$\therefore f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)$

$g(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x)$

$r_1(x)=q_3(x)r_2(x)+0$

$\therefore (f(x),g(x))=r_2(x)=x^2-2$

$=g(x)-q_2(x)r_1(x)$

$=g(x)-q_2(x)[f(x)-q_1(x)g(x)]$

$=-q_2(x)f(x)+[1+q_1(x)q_2(x)]g(x)$

$\therefore u(x)=-q_2(x)=-x-1$

$v(x)=1+q_1(x)q_2(x)=x+2$

$(2)f(x)=4x^4-2x^3-16x^2+5x+9,g(x)=2x^3-x^2-5x+4$

$\qquad\qquad\qquad\qquad f(x)\qquad\qquad\qquad\qquad g(x)$

$\begin{array}{c|l|l|c}q_1(x)=2x&4x^4-2x^3-16x^2+5x+9&2x^3-x^2-5x+4&q_2(x)=-{1\over 3}x+{1\over 3}\\ &x^4-2x^3-10x^2+8x&2x^3+2x^2-3x& \\ \hline q_3(x)=6x+9&r_1(x)=-6x^2-3x+9&-2x^2-2x+4\\ &6x^2+6x&-2x^2-x+3& \\ \hline &-9x+9&r_2(x)=-x+1\\ \hline &-9x+9\\ \hline &0 \end{array}$

$\therefore f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)$

$g(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x)$

$r_1(x)=q_3(x)r_2(x)+0$

$\therefore (f(x),g(x))=-r_2(x)=x-1$

$r_2(x)=g(x)-q_2(x)r_1(x)$

$=g(x)-q_2(x)[f(x)-q_1(x)g(x)]$

$=-q_2(x)f(x)+[1+q_1(x)q_2(x)]g(x)$

$\therefore u(x)=q_2(x)=-{1\over 3}x+{1\over 3}$

$v(x)=-[1+q_1(x)q_2(x)]={2\over 3}x^2-{2\over 3}x-1$

$(3)f(x)=x^4-x^3-4x^2+4x+1,g(x)=x^2-x-1$

$\qquad\qquad\qquad\qquad f(x)\qquad\qquad\qquad\qquad g(x)$

$\begin{array}{c|l|l|c}q_1(x)=x^2-3&x^4-x^3-4x^2+4x+1&x^2-x-1&q_2(x)=x+1\\ &x^4-x^3-x^2&x^2-2x& \\ \hline &-3x^2+4x+1&x-1\\ &-3x^2+3x+3&x-2& \\ \hline &r_1(x)=x-2&r_2(x)=1\\ \end{array}$

$\therefore f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)$

$g(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x)$

$\therefore (f(x),g(x))=r_2(x)=1$

$=g(x)-q_2(x)r_1(x)$
$=g(x)-q_2(x)[f(x)-q_1(x)g(x)]$
$=-q_2(x)f(x)+[1+q_1(x)q_2(x)]g(x)$

$\therefore u(x)=-q_2(x)=-x-1$

$v(x)=1+q_1(x)q_2(x)=x^3+x^2-3x-2$

5.设 $f(x)=x^3+(1+t)x^2+2x+2u,g(x)=x^3+tx+u$ 的最大公因式是一个2次多项式,求t,u的值.

解：

$f(x)-g(x)=(1+t)x^2+(2-t)x+u$

$\because 1+t$ 与 $2-t$ 不同时为 $0$

$\therefore f(x)-g(x)\neq 0$

依题意得 $(f(x),g(x))=(f(x)-g(x),g(x))$ 是2次多项式

$\therefore 1+t\neq 0$

且 $f(x)-g(x)$ 是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个最大公因式

$\therefore f(x)-g(x)|g(x)$

设 $(1+t)g(x)=[f(x)-g(x)](x+c)$

即 $(1+t)x^3+t(1+t)x+u(1+t)=(1+t)x^3+[2-t+c(1+t)]x^2+[u+c(2-t)]x+cu$

比较系数可得

$\begin{cases}2-t+c(1+t)=0\\ u+c(2-t)=t(1+t)\\ cu=u(1+t)\end{cases}$

(1)若 $u\neq 0$ ,则 $c=1+t$

解方程组可得

$\begin{cases}t={-1+\sqrt{11}i\over 2}\\ u=-7-\sqrt{11}i\end{cases}$

或 $\begin{cases}t={-1-\sqrt{11}i\over 2}\\ u=-7+\sqrt{11}i\end{cases}$

(2)若 $u=0$ ,则原方程组化为

$\begin{cases}2-t+c(1+t)=0\\ c(2-t)=t(1+t)\end{cases}$

即 $t(1+t)^2+(t-2)^2=0$

$(t+4)(t^2-t+1)=0$

解得 $t=-4$ 或 ${1\pm\sqrt{3}i\over 2}$

综上所述, $t,u$ 的值为

$\begin{cases}t=-4\\ u=0\end{cases}$

或 $\begin{cases}t={1\over 2}+{\sqrt{3}i\over 2}\\ u=0\end{cases}$

或 $\begin{cases}t={1\over 2}-{\sqrt{3}i\over 2}\\ u=0\end{cases}$

或 $\begin{cases}t=-{1\over 2}+{\sqrt{11}i\over 2}\\ u=-7-\sqrt{11}i\end{cases}$

或 $\begin{cases}t=-{1\over 2}-{\sqrt{11}i\over 2}\\ u=-7+\sqrt{11}i\end{cases}$

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 216,324评论 6赞 498
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 92,356评论 3赞 392
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 162,328评论 0赞 353
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 58,147评论 1赞 292
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 67,160评论 6赞 388
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 51,115评论 1赞 296
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,025评论 3赞 417
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,867评论 0赞 274
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,307评论 1赞 310
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,528评论 2赞 332
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,688评论 1赞 348
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,409评论 5赞 343
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 41,001评论 3赞 325
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,657评论 0赞 22
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,811评论 1赞 268
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,685评论 2赞 368
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,573评论 2赞 353

高等代数题选1：多项式(1)

多项式题选(1)

推荐阅读更多精彩内容