第六章“数学课程”
        （1912年担任英国数学家协会伦敦分会主席的演讲）
        如果不回溯几个世纪前中世纪学习传统的中断，我们就不能为当下教育的形势找到一个比较。
        传统的智识观，尽管曾经因为显著的胜利而获得权威，却已经逐渐变得狭隘，无法服务于当今人类的利益。
      人类利益发生改变的结果是，要求教育的基础作出相应的改革，从而适应学生的需要，向他们教授他们日后生活中能确实影响他们心智的观念。
      人类社会智识观的任何一次重大的根本性变化，都必然引起教育的改革。这种教育革命有可能会延迟一代人的时间，因为受到既得利益的影响，或是一些学界领袖固守自己求学时期所受精神激励的影响，但法则不可抗拒，要使教育生动、有效，就必须直接向学生传递这样的观念，为自己创造能力，使自己能欣赏所处时代的流行思想。
        任何成功的教育系统都不可能在真空中产生。也就是说，教育系统不能脱离与智识的气氛之间的直接联系。如果我们的教育不是现代的，教育的命运就会像一切有机体那样，难免会因为保存时间过长而腐坏。
        “现代”，这个被祝福的词，并不真正拯救教育的困难。所谓现代的教育，就是用现代的思想去传递知识，用现代的思想培育能力。在这个意义上，有些事物只是昨天才刚刚被发现，却不能真正算是现代的。它或许属于某些以前流行的过去的思想体系，它可能太深奥了。
        当我们要求教育要跟现代思想相关，我们所说的思想指的是在文明社会中那些广为流行的观念。在普通教育中，深奥的课程不合时宜。这个问题就是我今天下午的演讲的关键点。
        对于数学家来说，数学的确是一门复杂的学科。外行都倾向于谴责我们的科目太复杂了。让我们抓住这让人烦恼的时机，向人坦率地承认：在通常的观点来看，这的确是一个深奥的典型例证。但是，深奥并不等同于问题很难，而是相关观念的运用是高度专业化的，没能影响到人们的思想。 人们对数学课程太复杂的抱怨是一种特有的邪恶，摧毁了数学在通识课程中的应用。到目前为止，这个邪恶的力量还附着在学科的教育应用上；到目前为止，我们必须承认我们的数学素养普遍地处在一个让人悲伤的低水平上。我比任何人都更渴望扩大数学教育范围。
        要达成数学教育的加强，盲目学习更多数学知识并非良方。我们必须面对阻碍数学广泛应用的真正困难。 数学课程到底是不是很深奥呢？总的说来，我认为是的。 数学这门学科，存在于人们的大脑里是深奥的，存在于学生们的数学书上也是深奥的。数学，从一般的原理出发，经过演绎得出无数的特殊的结果，每一个结果都比推论过程之前更加深奥。我今天下午的任务，不是为了要辩护说：数学这门学科的学习是多么意义深远。这一点，不证自明。我想强调的是：数学这门科学吸引学生的主要原因，也是使数学的应用成为一种教育障碍的原因，教育的无尽财富来源于此。这些原因即：来自一般原理的互相影响的大量推论，它们之间的复杂关系，它们与争论的出发点之间明显的疏远，形式多样的方法，它们的纯抽象特征，这些数学的礼物，带来不朽的真理。 当然，所有这些特性对学生来说都是无价宝。古往今来，数学的特性吸引了很多具有最敏锐的智力的人们。我只发表一条见解：除了那些天选一般的高天赋的人们，数学教育对一般人来说都是致命的。学生们被各种各样的细节给弄迷糊了，这些细节跟伟大的观念无关，跟日常的思想也无关。为了教育的利益，最后一项衡量标准就是，这种培训是否扩展到获取更多细节的方向。我们得到的结论是，数学，如果要在普通教育中被用到，必须经过一个严格的筛选和调试的过程。我认为，只要付出了一定的努力，即便是智商一般的学生也能有所收获。为了即使只有一点点的进步，我们也要对数学教育作出改变。在数学教育的任何一个阶段，我们都要严格排除一些不合时宜的因素。这门科学呈现在年轻学生面前的时候，务须丢掉深奥的一面。它必须能直接地、简单地探讨一些具有重要性的意义深远的一般观念。
        我们要设立的目标是：学生对抽象的思想获得了亲熟感，应该能够在特定具体环境中意识到怎么样去运用这些抽象的思想，应该知道在符合逻辑的调查研究中怎么样去运用一般方法。
      为了教育起见，数学由数字关系、数量关系和空间关系组成。这不是数学的一般定义，在我看来，数学不仅仅是一般科学。我们现在讨论的是教育中数学的应用，这三组关系：数字关系、数量关系、空间关系，是相互联系的。
      在教育进程中，我们从特殊到一般。因此，儿童应该被教会在简单事例中实践这些观念。我的观点是，不要无目的地堆砌特殊数学理论，而是最终认识到，之前多年的学习说明了数量、质量和空间之间的关系，这才是数学教育的目标。这样的培训应该作为一切哲学的基础。
        实际上，初等数学如果能够很好地被接受的话，就会给人群中那些普通智力的人们以哲学的训导。但是我们在数学教育中务必要避免一点，就是无意义的细节的堆积。去做一些实例题，爱做多少做多少，让孩子们做上几个学期，几年也行。但是这些例题必须能够直接说明主要观念。用这种方式，也只能用这种方式，才能避免数学那致命的深奥。
        我不是针对那些将来会成为专业数学家的学生，也不是那些因为职业原因被要求有一定数学细节知识的学生。我们考察的是指向所有学生的通识教育。也包括上述两类学生。因此，数学的一般运用，应该是对某些一般真理的简单的学习，能够用实践中的实例很好地说明。这种学习要从自身去构想，要和前面所讲的专业数学研究完全区分开来，尽管这种数学教育为专业的数学研究做了最精彩的准备。数学教育的最终阶段，学生掌握了那些在练习中已经被阐明的一般原理。

        教育如人生，要活在当下，要用现代人能听的懂的言语把看似深奥的课程讲清楚。不要说不可能，费曼就有这个能力。我们现在的教师主要缺的不是能力，是讲好知识的信心、专研教学的坚持和投身教育的格局。

        数学的难学不在于其深奥，而是相关观念的运用是高度专业化的，没能影响到人们。以至于人们对数学课程太复杂产生抱怨，进而摧毁了数学在通识课程中的应用。虽然现在有所改观，但我们的数学素养水平与学好数学所需要求的素养水平仍有差距。

        我只选取了本章内容的一小部分，如有对数学感兴趣或想学好数学的友友，全章节阅读或许会有不一样的收获。