我们对某想法的初次接触会形成我们对其的直觉，我们的直觉反过来会影响我们从该主题中获得的乐趣。
这是什么意思呢？
假设我们要定义’猫’：

• 原始人的定义：有爪子、牙齿、1条尾巴、4条腿的毛茸茸的动物，开心的时候呼呼的叫，生气的时候嘶嘶的叫 ...
• 进一步的定义：属于哺乳动物，有如下特征 ...
• 现代的定义：猫是有如下DNA序列的动物：CATCATCATCAT …
  
  cat-analogy

毫无疑问，现代定义很精确，但它是最好的么？你会这样教学习这个‘猫’字的小朋友么？它能给予’猫’更好的诠释么？不一定。现代定义，在我们了解了猫是什么之后很有用，但不应该是我们一开始认识‘猫’的时候需要了解的东西。

不幸的是，对于数学的理解似乎遵循了DNA的学习模式：我们学
习了现代的、精确的定义，而不是知其所以然。我们学习了很多艰深的数学公式（就像DNA），但却很少理解公式背后的含义是什么。

让我们从另一个角度看这个问题。想象一个圆：圆心是要研究的核心，圆周是对核心的描述。我们从一点出发沿着圆周走，不断收集事实去建立我们对于核心的理解。猫有相同的物理性状 推论出 猫有相同的祖先 推论出 一个种群可以由DNA构成唯一确定。阿哈！现在知道现代定义是如何从原始人定义进化来的了！

对事物的各个认知起点并不是等价的，正确的理解角度让数学变得简单，首先提出朴素定义的‘数学原始人’的观点往往更有启发性。让我们学习如何建立自己的数学直觉吧！

什么是圆

你是如何定义圆的呢？似乎有无数的定义，比如：

• 最对称的2维图形
• 周长最小时面积最大的图形
• 跟某定点距离相等的所有点组成的图形
• 满足等式x2 + y2 = r2的点 (x,y)的集合
• 对于任意t，满足等式r * cos(t), r * sin(t)的所有的点
• 位置向量总是与切线垂直的一种图形
  
  circle-definitions

列表还可以往下写，但重要的一点是，所有这些事实都描述了同一个思想，就像在说1、one(英语)、uno(西班牙语)、eins(德语)、满足2x + 3 = 5的解x、脸上鼻子的数量等等，所有这些都只是‘1’的不同的名字。

这些对于圆的描述很重要，它们是我们对于圆的直觉。由于我们是在进入课堂之前现在现实世界看到圆，我们了解圆是怎么样的一种形状。无论我们见到多完美的等式（2x + 3 = 5），我们都深深的知道圆是怎样’圆’的。如果我们把等式的图像画图来，却看到的是方形的或者不对称的，我们肯定知道错了。

我们从’原始人的定义’开始认识圆，这让我们对圆有了一个恰当的认知，进一步发现这个’圆圆的形状’上的每一点离中心都有相同的距离，最后用勾股定理x2 + y2 = r2来展示相同的事实。我们从对圆的直觉出发，一路走到了圆的正式定义！
然而其他情况可能就没这么简单了。我们能本能地发现自然常数e的增长么？虚数i是人为创造、没有意义的概念么？

培养洞察力的方法

不像我们能轻易明白圆和猫是什么样子，我们必须提醒自己自然常数e和虚数i的深层内涵，而它们的实际意义恰恰本应该建立在我们自然形成的理解上。
理解他们的拼图少了一大块让我有些抓狂：数学本是对实际的抽象，方程仅仅是一个表达方式，一旦核心概念明确，列出等式是水到渠成的事情。

以下是对我有用的方法：

• 第一步：找到一个数学概念的核心主题。这可能很难，但可以从它的历史发展去尝试了解其来龙去脉。这个数学思想首次被应用到哪里？发现者当时正在做什么而产生了该想法？这些想法和应用领域在过去和现在可能会不尽相同。
• 第二步：使用发现的核心主题去描述一个事实。如果幸运的话，你就能把数学等式转化为大白话，比如对于圆的正式定义x2 + y2 = r2，我们可以表述为“距中心相同距离的点组成的图形”。
• 第三步：通过该核心主题探索更多的相关事实。一旦你有一个数学定义的白话描述有效果，尝试把它应用到其他事实上去。有时候这会有用，但也有可能不会，不过最终你会惊讶于自己的发现。

一个真实案例：理解自然常数e

理解自然常数e一直是个很大的挑战，它出现在所有科学领域，并且有很多的定义，但是这些定义很少能让我们通过自然的方式去理解。那让我们围绕这个主题培养自己的洞察吧！下面的部分会有几个等式来描述想法。即使等式再不好理解，总会在其背后有一个白话解释。
这里有一些关于自然常数e的常见定义。

e-definitions

首先第一步是找到核心主题。看一下e的历史（来自Wikipedia），似乎它跟利息有着某种关系。e是在实际的商业计算中被发现的（不是抽象的数学猜想！），因此利息是一个可以用来讨论e的主题。

看一下上图中左上方的第一个定义，对我而言，最大的问题就是它跟复利计算到底哪里长得像了！？实际上，当把它看成1单位的资产和对应的全部利息组合再投资时，它就是利息公式，只是是在无数次本息重复投资的情况下。所以我们得到了：

• 定义1:自然常数e，就是在最小可能增量下的本息增长情况。

这篇文章（理解e）对e的这种解释有所描述。
再看右上角的第二个定义：一个各项越来越小的无穷项序列。这是什么呢？

在用利息这个主题思考了e的含义之后，我们明白第一种定义告诉了我们复利的组成。现在，对于第二个定义的洞察也许还没来，而且这种洞察往往是在头脑风暴后灵光一现，那就是当我们说利息的时候，“1 + 1 + 1/2 + 1/6 + …”表示的是什么？
嗯 ... 第一项(1 = 1/0!，还记得0! = 1吧！)是我们的初始金额，第二项（1 = 1/1!）是初始金额所得的利息，第三项(0.5 = 1/2!)是利息挣的钱(2阶利息)，第四项（0.1666 = 1/3!）是你利息的利息挣的钱，也就是3阶利息！
钱生钱，再生钱，一直进行下去，这个无穷序列把每一项的贡献都单独分开，这就是通过‘聚焦增长’来理解e的内涵。

• 定义2:自然常数e，就是每一份利息的贡献之和.

现在看看右下角的第三个，也是最短的一个关于e的定义。先不要把它想成微分方程，而是试着理解它所表达的含义。
‘某个量的增长率等于其当前值’就是这个微分式所表达的内容。也就是说，在当前的量的基础上有100%的增长率，并且一直增长意味着要一直计算利息，这只是用连续的方式描述复利！

• 定义3:自然常数e，是一个总以当前值100%增长的方程。

漂亮！e就是在当前量的基础上总是100%增长的那个数字，注意这个增长率不是1%或者200%哦！
最后一个左下角的定义看起来很棘手。我是这么想的，与其说增长了多少，不如说要增长到某个值要花多长时间。

如果你现在有1块钱且增长率100%，在单位时间内会从1变成2；如果你有2块钱并且增长率100%，在单位时间内会从2变成4，也就是说单位时间内增长了2个单位！那如果从2到3会花1/2个单位时间，从3到4会花1/3个单位时间，等等。
从1到A花的时间，可以看成是从1到2，2到3，3到4，… … 持续下去一直到A-1到A花的时间之和，定义里的自然对数ln，可以理解为增长时间计算的简写，ln(a)就是从1到a增长所需的时间。

我们说，e是从1增长到A时单位时间内的增长量的和。或者说，e是1个单位时间后的增长量。

• 定义4:记从1连续增长到A所花时间为ln(A)，自然常数e就是1个单位时间后的增长率之和。

以上就是从4个不同的方式描述神秘的数字e。一旦我们有了核心认知，那些疯狂的等式所代表的含义就会一目了然，也说明了把数学公式转化为白话是可行的，因为数学本身就是对日常想法的抽象！

问题在哪儿

在数学课上，我们往往是从最复杂的概念学起。难怪我们会感到困惑不解啊，因为我们是被展示猫的DNA序列来学习猫是张什么样子的。

我通过这种方法学到了很多经验，它们构成了我对数学的理解：

• 寻找洞见然后应用。第一直觉很重要，从可行的一点出发然后’沿着圆圈’去发现更多理解。

• 培养毅力。想破脑袋像一个问题的确是没有乐趣，但如果一个不行试试从其他角度去理解。总会有另一本书，另一篇文章，另一个人可以通过另一个方式让我们某个数学主题的。

• 图形化。我们都会认为数学是公式的冰冷世界，但其实也可以通过图形来表达。任何可以提高对数学理解的方法都值得尝试。要知道，虚数在被发现后的几十年后一直让人无法理解，直到几何表示出现带来新的曙光。只盯着等式看是无法帮我们理解其含义的。

如果只强调定义而不关注理解，这是数学对我们而言很难的原因所在。要记得，现代的数学定义是最前沿的思想，而不一定是最好的理解数学的起点。尝试把数学概念翻译成大白话吧，也不用担心你的翻译是否滑稽。

数学使人快乐！