高等代数理论基础58：初等因子

初等因子

定义：将矩阵A(或线性变换 $\mathscr{A}$ )的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积,所有这些一次因式方幂(相同的按出现的次数计算)称为矩阵A(或线性变换 $\mathscr{A}$ )的初等因子

例：设12级矩阵的不变因子为

$\underbrace{1,1,\cdots,1}_{9个},(\lambda-1)^2,(\lambda-1)^2(\lambda+1),(\lambda-1)^2(\lambda+1)(\lambda^2+1)^2$

由定义,它的初等因子有7个

$(\lambda-1)^2,(\lambda-1)^2,(\lambda-1)^2,\lambda+1,\lambda+1,(\lambda-i)^2,(\lambda+i)^2$

其中 $(\lambda-1)^2$ 出现三次, $\lambda+1$ 出现二次

不变因子与初等因子

假设已知n级矩阵A的不变因子 $d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_n(\lambda)$

将 $d_i(\lambda)(i=1,2,\cdots,n)$ 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积

$d_1(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_{11}}(\lambda-\lambda_2)^{k_{12}}\cdots(\lambda-\lambda_r)^{k_{1r}}$

$d_2(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_{21}}(\lambda-\lambda_2)^{k_{22}}\cdots(\lambda-\lambda_r)^{k_{2r}}$

$\cdots$

$d_n(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_{n1}}(\lambda-\lambda_2)^{k_{n2}}\cdots(\lambda-\lambda_r)^{k_{nr}}$

则其中对应于 $k_{ij}\ge 1$ 的那些方幂 $(\lambda-\lambda_j)^{k_{ij}}(k_{ij}\ge 1)$ 即A的全部初等因子

不变因子一个除尽一个,即 $d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)(i=1,2,\cdots,n-1)$

故 $(\lambda-\lambda_j)^{k_{ij}}|(\lambda-\lambda_j)^{k_{i+1,j}}(i=1,2,\cdots,n-1;j=1,2,\cdots,r)$

故在 $d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_n(\lambda)$ 的分解式中,属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质

即 $k_{1j}\le k_{2j}\le\cdots\le k_{nj}(j=1,2,\cdots,r)$

同一个一次因式的方幂作成的初等因子中,方次最高的必出现在 $d_n(\lambda)$ 的分解中

方次次高的必出现在 $d_{n-1}(\lambda)$ 的分解中

顺推下去

可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置唯一确定

从初等因子和矩阵的级数唯一作出不变因子的方法：

设一个n级矩阵的全部初等因子为已知,在全部初等因子中将同一个一次因式 $\lambda-\lambda_j(j=1,2,\cdots,r)$ 的方幂的那些初等因子按降幂排列,且当这些初等因子的个数不足n时,在后面补上适当个数的1,使得凑成n个

设所得排列为 $(\lambda-\lambda_j)^{k_{nj}},(\lambda-\lambda_j)^{k_{n-1,j}},\cdots,(\lambda-\lambda_j)^{k_{1j}}(j=1,2,\cdots,r)$

令 $d_i(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_{i1}}(\lambda-\lambda_2)^{k_{i2}}\cdots(\lambda-\lambda_r)^{k_ir}(i=1,2,\cdots,n)$

则 $d_i(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_n(\lambda)$ 为A的不变因子

注：若两个同级的数字矩阵有相同的初等因子,则它们有相同的不变因子,因而相似,反之若两个矩阵相似,则它们有相同的不变因子,因而它们有相同的初等因子

定理：两个同级复数矩阵相似的充要条件为它们有相同的初等因子

初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量,但初等因子的求法更方便

求初等因子

若多项式 $f_1(\lambda),f_2(\lambda)$ 都与 $g_1(\lambda),g_2(\lambda)$ 互素,则 $(f_1(\lambda)g_1(\lambda),f_2(\lambda)g_2(\lambda))=(f_1(\lambda),f_2(\lambda))\cdot(g_1(\lambda),g_2(\lambda))$

令 $(f_1(\lambda)g_1(\lambda),f_2(\lambda)g_2(\lambda))=d(\lambda),(f_1(\lambda),f_2(\lambda))=d_1(\lambda)$

$(g_1(\lambda),g_2(\lambda))=d_2(\lambda)$

显然 $d_1(\lambda)|d(\lambda),d_2(\lambda)|d(\lambda)$

又 $(f_1(\lambda),g_1(\lambda))=1$ ,故 $(d_1(\lambda),d_2(\lambda))=1$

故 $d_1(\lambda)d_2(\lambda)|d(\lambda)$

又 $d(\lambda)|f_1(\lambda)g_1(\lambda)$

令 $d(\lambda)=f(\lambda)g(\lambda)$

其中 $f(\lambda)|f_1(\lambda),g(\lambda)|g_1(\lambda)$

由 $(f_1(\lambda),g_2(\lambda))=1$ ,故 $(f(\lambda),g_2(\lambda))=1$

由 $f(\lambda)|f_2(\lambda)g_2(\lambda)$ ,故 $f(\lambda)|f_2(\lambda)$

故 $f(\lambda)|d_1(\lambda)$

同理 $g(\lambda)|d_2(\lambda)$ ,故 $d(\lambda)|d_1(\lambda)d_2(\lambda)$

于是 $d(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)$

引理：设 $A(\lambda)=\begin{pmatrix}f_1(\lambda)g_1(\lambda)&0\\0&f_2(\lambda)g_2(\lambda)\end{pmatrix}$

$B(\lambda)=\begin{pmatrix}f_2(\lambda)g_1(\lambda)&0\\0&f_1(\lambda)g_2(\lambda)\end{pmatrix}$

若多项式 $f_1(\lambda),f_2(\lambda)$ 都与 $g_1(\lambda),g_2(\lambda)$ 互素,则 $A(\lambda)$ 和 $B(\lambda)$ 等价

证明：

$显然A(\lambda)和B(\lambda)有相同的二级行列式因子$

$A(\lambda)和B(\lambda)的一级行列式因子分别为$

$d(\lambda)=(f_1(\lambda)g_1(\lambda),f_2(\lambda)g_2(\lambda))$

$d'(\lambda)=(f_2(\lambda)g_1(\lambda),f_1(\lambda)g_2(\lambda))$

$又d(\lambda)=d'(\lambda)$

$\therefore A(\lambda)和B(\lambda)有相同的一级行列式因子$

$\therefore A(\lambda)和B(\lambda)等价\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：首先用初等变换化特征矩阵 $\lambda E-A$ 为对角形式,然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)即A的全部初等因子

证明：

$设\lambda E-A已用初等变换化为对角形$

$D(\lambda)=\begin{pmatrix}h_1(\lambda)\\&h_2(\lambda)\\& &\ddots\\& & &h_n(\lambda)\end{pmatrix}$

$其中h_i(\lambda)的最高项系数都为1$

$将h_i(\lambda)分解成互不相同的一次因式方幂的乘积$

$h_i(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_{i1}}(\lambda-\lambda_2)^{k_{i2}}\cdots(\lambda-\lambda)^k_{ir}(i=1,2,\cdots,n)$

$下证对每个相同的一次因式的方幂$

$(\lambda-\lambda_j)^{k_{1j}},(\lambda-\lambda_2)^{k_{2j}},\cdots,(\lambda-\lambda_j)^{k_{nj}}(j=1,2,\cdots,r)$

$在D(\lambda)的主对角线上按递升幂次排列后得到的新对角矩阵D'(\lambda)与D(\lambda)等价$

$此时D'(\lambda)即\lambda E-A的标准形且所有不为1的(\lambda-\lambda_j)^{k_{ij}}即A的全部初等因子$

$对\lambda-\lambda_1的方幂进行讨论$

$令g_i(\lambda)=(\lambda-\lambda_2)^{k_{i2}}(\lambda-\lambda_3)^{k_{i3}}\cdots(\lambda-\lambda)^{k_{ir}},i=1,2,\cdots,n$

$\therefore h_i(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_{i1}}g_i(\lambda),i=1,2,\cdots,n$

$且每个(\lambda-\lambda_1)^{k_{i1}}都与g_j(\lambda)(j=1,2,\cdots,n)互素$

$若有相邻的一对指数k_{i1}\gt k_{i+1,1}$

$则在D(\lambda)中将(\lambda-\lambda_1)^{k_{i1}}与(\lambda-\lambda_1)^{k_{i+1,1}}对调位置$

$其余因式保持不动$

$则\begin{pmatrix}(\lambda-\lambda_1)^{k_{i1}}g_i(\lambda)&0\\0&(\lambda-\lambda_1)^{k_{i+1,1}}g_{i+1}(\lambda)\end{pmatrix}$

$与\begin{pmatrix}(\lambda-\lambda_1)^{k_{i+1,1}}g_i(\lambda)&0\\0&(\lambda-\lambda_1)^{k_{i1}}g_{i+1}(\lambda)\end{pmatrix}等价$

$\therefore D(\lambda)与对角矩阵等价$

$D_1(\lambda)=\begin{pmatrix}(\lambda-\lambda_1)^{k_{11}}g_1(\lambda)\\&\ddots\\& &(\lambda-\lambda_1)^{k_{i+1,1}}g_i(\lambda)\\& & &(\lambda-\lambda_1)^{k_{i1}}g_{i+1}(\lambda)\\& & & &\ddots\\& & & & &(\lambda-\lambda_1)^{k_{n1}}g_{n}(\lambda)\end{pmatrix}$

$然后对D_1(\lambda)作如上讨论$

$如此继续进行,直到对角矩阵主对角线上元素所含\lambda-\lambda_1的方幂是按递升幂次排列为止$

$依次对\lambda-\lambda_2,\cdots,\lambda-\lambda_r作同样处理$

$最后便得到与D(\lambda)等价的对角矩阵D'(\lambda)$

$它的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂,都是按递升幂次排列\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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