四棱锥：2017年文数全国卷B题18

分值：12分

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，侧面 $PAD$ 为等边三角形且垂直于底面 $ABCD$ ， $AB=BC=\dfrac{1}{2}AD，\angle BAD=\angle ABC=90°.$

（1）证明∶直线 $BC$ // 平面 $PAD$ ;

（2）若 $\triangle PCD$ 的面积为 $2\sqrt{7}$ ，求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.

2017年文数全国卷B

【解答问题1】

∵ $\angle BAD=\angle ABC=90°$ ,

∴ $BC //AD$ ,

又∵ $BC$ 在平面 $PAD$ 外，

∴ 直线 $BC$ // 平面 $PAD$ .

【解答问题2】

作 $AD$ 中点 $M$ ，并连接 $PM,CM$ .

∵ $AB=BC=\dfrac{1}{2}AD，\angle BAD=\angle ABC=90°.$

点 $M$ 是 $AD$ 中点，

∴ $MABC$ 是正方形， $\triangle MDC$ 是等腰直角三角形，

$CM \perp AD, CM=DM = \dfrac {1}{2} AD$ ,

$CD=\sqrt{2}CM$ .

∵ 侧面 $PAD$ 为等边三角形，点 $M$ 是 $AD$ 中点，

∴ $PM \perp AD, PD=2 DM$ .

∵ $PAD \perp ABCD, PM \perp AD$ ,

∴ $PM \perp CM$

∵ $PM=PM, \angle PMD=\angle PMC,MD=MC$ ,

∴ $\triangle PMD \cong \triangle PMC$ .

∴ $PD=PC=2 MD$

$PD=PC=2 MD, CD=\sqrt{2} MD$

$S_{\triangle PCD} = 2\sqrt{7} = \dfrac {\sqrt{7}}{2} MD^2$ ，

$MD=2$

$S_{ABCD}=6$

$PM = \sqrt{3} MD = 2\sqrt{3}$

$V_{P-ABCD} = \dfrac {1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot PM=4\sqrt{3}$

【提炼与提高】

假如连接 $AC$ ，就会得到一个等腰直角三角形 $Rt\triangle ACD$ .

四面体 $P-ADC$ 中，有一个正三角形，一个等腰直角三角形，另有两个等腰三角形。这是一个高考题常用的模型。

请参考后面的相关考题。

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