两个向量相乘的几何意义是什么？（点乘、内积）

两向量相乘可以表示为如下形式：

$\vec{a} · \vec{b} = \vert \vec{a} \vert\vert \vec{b} \vert\cos \theta$

其中， $\theta$ 为向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 之间的夹角。

上式右边的意思为，一个向量在另一个向量方向上的射影乘以另一个向量的长度。

即，

当 $\vec{b}$ 为单位向量时，两向量的点积为，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上 “贡献” 长度的多少；

in general，

两向量相乘的几何意义可以理解为：

在以 $\vert \vec{b} \vert$ 为单位长度时，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的贡献长度；

或在以 $\vec{a}$ 为单位长度时，向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上贡献的长度。

另外，如果当两个向量长度相等，或者将两个向量化为其所在方向的单位向量（如： $\frac{\vec{a} }{\vert \vec{a} \vert }$ ， $\frac{\vec{b} }{\vert \vec{b} \vert }$ ）时，两个向量的点积得到的结果为两向量的夹角 $\cos \theta$ ，可以通过这个夹角的大小来判断两个向量的相似性。即，当两个向量为单位向量时，它们点积的几何意义也可以理解为他们的相似性（越大越相似，越小越不相似。这个原理常被用于判断文本的相似性）。

两个向量相乘的几何意义是什么？（点乘、内积）

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