数量关系

常用方法

方程

设——列——解——答

- 设未知数：直接法，间接法

- 列方程，找等量关系

- 解方程：普通方程、不定方程

不定方程解法：

1、特值法：设某一未知数为0

例：已知3x+7y+z=32，4x+10y+z=43。设y=0，解得x=11，z=-1。

2、交换系数

例：已知3x+7y+z=32①，4x+10y+z=43②。① $\times$ 3，② $\times$ 2，解得x+y+z=10。

3、奇偶属性

偶数 $\pm$ 偶数=偶数；

奇数 $\pm$ 奇数=偶数；

偶数 $\pm$ 奇数=奇数；

偶数 $\times$ 奇数=偶数；

偶数 $\times$ 偶数=偶数；

奇数 $\times$ 奇数=奇数。

4、质数：又叫素数，在大于0的自然数中，除了1以外和它本身不再有其他因数的数。20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19

5、整数

6、尾数法

7、代入排除

特值

- 含义：为了简化计算吧未知量用特殊值表示

- 核心：不设未知数，而设单位1

- 常见应用：存在M=A $\times$ B关系，且对应量未知

比例

- 含义：数量之间的对比关系

- 核心：份数思想

- 比例化简：分母是自己的，分子式别人的。例： $\frac{4}{3}$ A= $\frac{1}{2}$ B，A:B=（3 $\times$ 1）：（2 $\times$ 4）=3:8

- 比例统一：找中间量

- 比例转换：正反比，存在M=A $\times$ B关系中，M一定时，A与B成反比；A或B一定时，M与另一个量成正比。反比的本质是倒数之比。

- 比例计算：每份所对应的实际量

盈亏

- 含义：多的量与少的量保持平衡

- 核心：多的量=少的量

- 常见应用：平均数、比值混合

比值混合

1、第一列的差等于第三列的和

2、后三列比值相等

3、第三列由前两列交叉作差得到

线段法（资料分析同适用）

20%的溶液Xg与35%的溶液Yg混合为26%的溶液

20%X+35%Y=26%（X+Y）

思想：

1、混合居中

2、（35%-26%）Y=（26%-20%）X，其中（35%-26%）和（26%-20%）为距离，X与Y为量， $距离_{1} \times 量_{1}=距离_{2} \times 量_{2}$ ，距离与量成反比关系。

常考题型

整除

- 概念：整除15 $\div$ 3=5，除尽15 $\div$ 4=3.75，整除是小范围，除尽是大范围。

- 核心：根据题干所给的数字特征排除其他选项

- 常见数字的整除判定

1、局部看：能被2、5整除的看末一位；能被4、25整除的看末两位；能被8、125整除的看末三位。

2、整体看：

①能被3、9整除的数，各位数字之和能被3、9整除。弃3弃9法，逢3、9加和划掉。

②如果一个数能被1001整除，则能同时被7、11、13整除。

3、合数：大于1的自然数，除了1和它本身还有其他的约数

4、分解质因数，分解的两个数一定互质

- 应用环境

1、文字描述含有每、平均、倍数时

2、数据体现：分数、百分数、比例

计算问题

等差数列

- 通项公式

$a_{n}$ = $a_{1}$ +(n-1) $\times$ d

$a_{n}$ = $a_{m}$ +(n-m) $\times$ d

d为公差

- 求和公式

$S_{n}$ = $\frac{n\times (a_{1}+a_{n} )}{2}$ =n $\times a_{1} +\frac{n\times (n-1)}{2} \times d$

- 中项求和

奇数项 $S_{n} =na_{中}$

偶数项 $S_{n} =\frac{n}{2} \times (a_{中_{1} }+ a_{中_{2} } )$

等比数列

- 通项公式

$a_{n}=a_{1}\times q^{n-1}$

$a_{n}=a_{m}\times q^{n-m}$

- 求和公式

$S_{n} =\frac{a_{1} \times (1-q^n ) }{1-q}$

公倍数公约数

- 倍数和最小公倍数，约数和最大公约数（短除法，分解质因数）

周期循环

闰年（366天）：一般年份除以4，整百年份除以400

平年（365天）

行程问题

- 基本公式： $S_{路程}$ = $V_{速度}$ $\times$ $t_{时间}$ ；

- 常用解题方法：图解法、特值法、比例法

-常考考点

直线相遇 $S=(v_{1} +v_{2})\times t$

直线追及 $S=(v_{1} -v_{2})\times t$

$V_{船速}+ V_{水速}=V_{顺水速度}$

$V_{船速}- V_{水速}=V_{逆水速度}$

$V_{船速}= \frac{V_{顺水速度}+V_{逆水速度} }{2}$

$V_{水速}= \frac{V_{顺水速度}-V_{逆水速度} }{2}$

极值问题

- 和定最值

1、含义：在和一定的前提下求某个量的最大值或最小值

2、题型特征：求最多/少、最大/小、至多/少

3、解题原则：求某个量最小/大值，让其他量尽可能大/小

4、考点：正向极值、逆向极值、混合极值

- 最不利原则

1、问法：至少...才能保证

2、解题原则：距离成功一步之遥，排除其他可能，最不利+1

不说保证就是最有利

排列组合

-两个计数原理

1、加法原理：完成一件事情分为几个类别，每一类方法数加和

2、乘法原理：完成一件事情分为几个步骤，每一步方法数相乘

区别：分类相加，分步相乘

- 排列组合

1、排列：从n个元素中，选出m个元素，按一定顺序排成一排，用A表示， $A_{n}^m$

2、组合：从n个元素中选出m个元素，组成组合，用C表示， $C_{n}^m$

3、常用方法：

（1）优先法：特殊元素优先排列

（2）捆绑法：将需要相邻的元素看做整体（相邻、连续）

（3）插空法：优先排列不相邻元素进行插空（不相邻、不连续）

（4）间接法：正难则反，正面解题困难时，从反面角度考虑问题

（5）隔板法：相同元素分几堆，没堆至少一个，n个元素分成m堆 $C_{n-1}^{m-1}$

概率问题

- 古典概率

1、概念：表示事件发生可能性大小的量度

2、特征：有限性、等可能性

3、计算公式： $P=\frac{符合条件的方法数}{总方法数}$

4、方法：枚举法、排列组合、间接法（至少）

- 独立重复实验

1、概念：在相同的条件下重复实验，每次概率相同

2、特征：实验相互独立，互不影响，实验有两种情况，要么发生，要么不发生

3、计算公式： $P=C_{n}^kP^k(1-P)^{n-k}$

几何问题

- 平面几何

1、三角形：周长=a+b+c，面积= $\frac{1}{2} S_{底}\times h$ （h为高）

直角三角形： $a^2+b^2=c^2$ （a、b为两个直角边）

相似三角形： $周长比=边长比=相似比$ ， $面积比=相似比^2$

2、长方形：周长= $2\times (a+b)$ ，面积= $a\times b$

3、正方形：周长=4a，面积= $a^2$

4、梯形：周长=上底+下底+腰，面积= $\frac{1}{2}\times (上底+下底)\times h$ （h为高）

5、菱形：周长=4a，面积= $\frac{1}{2}$ 对角线乘积

6、圆：周长= $4\Pi R$ ，面积= $\Pi R^2$

7、扇形：周长= $\frac{n\Pi r}{180} +r^2$ ，面积= $\frac{n\Pi r^2 }{360}$

-立体几何

1、正方体：表面积= $6a^2$ ，体积= $a^3$

2、长方体：表面积=2(ab+ac+bc)，体积=abc

3、圆柱：表面积= $2\Pi r^2+2\Pi rh$ ，体积= $\Pi r^2 h$

4、圆锥：表面积= $\Pi rl+\Pi r^2$ ，体积= $\frac{1}{3} \Pi r^2h$

5、球：表面积= $4\Pi r^2$ ，体积= $\frac{1}{3} \Pi r^3$

6、正四面体：表面积=各个面的面积之和，体积= $\frac{1}{3} Sh$

容斥问题

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最后编辑于：2020.03.05 15:07:56

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