从变换观点看几何
克莱因把各种度量几何归纳为射影几何后，开始寻求区分各种几何的特征，不只是基于非度量、度量的性质以及各种度量的区分，而是基于更广泛的观点：几何要完成的目标，来刻画它们的特征。他在1827年进入埃尔朗根大学教授会时发表的演讲中给出了这种刻画，这次演讲的观点后来被称为埃尔朗根纲领。
克莱因的基本观点是，每种几何都由变换群所刻划，且每种几何所做的就是在这个变换群下考虑其不变量，一个几何的子几何是在原变换群的子群下的一族不变量，在此定义下给定变换群的几何定理仍是子群几何中的定理。
虽然克莱因未在论文中使用解析式陈述他讨论的变换群，但以下将使用解析式进行说明。根据他的几何概念，射影几何（比如二维的）是研究从一个平面上的点到另一个平面上的点或者到同一平面上的点（直射变换）的变换群下的不变量，变换形式如x1'=a11x1+a12x2+a13x3（齐次坐标）或x'=(a11x+a12y+a13)/(a31x+a32y+a33)（非齐次坐标，y'是把a1i改成a2i），系数行列式必须不为0。射影变换群下的不变量有：线性、共线性、交比、调和集、保持为圆锥曲线不变等。
摄影群的一个子集是一族仿射变换，这个子群定义如下：设在射影平面上固定任一直线l∞，l∞上的点称为理想点或无穷远点，l∞称为无穷远直线，射影平面上的其它点称为寻常点。直射变换仿射群是摄影群使l∞不变的子群（但该线上的点无需保持不变），仿射几何是在仿射变换下不变的性质与关系，二维齐次坐标的仿射变换，其代数表示为以上方程，但其中a31=a32=0，并有相同行列式条件。非齐次坐标的仿射变换为x'=a11x+a12y+a13,y'=a21x+a22y+a23，且a33的余子式不为0，在仿射变换下，直线变到直线，平行直线变到平行线，然而长度和大小发生改变。仿射几何首先由欧拉注意到，而后由莫比乌斯在《重心坐标计算》一书中指出。它在形变力学的研究中有用。
任何度量几何群，除了上面行列式值必须为±1外，其它和仿射群相同。第一个度量几何是欧氏几何，要定义这种几何群，从l∞开始，假设在l∞上有固定的对合变换，要求这个对合变换没有实的二重点，而以∞处虚圆点作为二重点。考虑射影变换使l∞不变，且把对合的任何点变为对合的任何点，即每个虚圆点变到自身，欧几里得群这些变换的非齐次二维坐标的代数表达为x'=ρ(xcosθ-ysinθ+α),y'=ρ(xsinθ-ycosθ+β)，ρ=±1.不变的是长度、角的大小，任何图形的大小和形状。
用这种分类法的术语讲，欧氏几何就是在旋转、平移、反射变换下的一组不变量。要得到关于相似形的不变量，我们引进的仿射群子群称为抛物度量群，定义是使l∞上对合不变的一族射影变换，即每一对相应的点变到相应的另一对点。非齐次坐标的抛物度量群的变换具有形式x'=ax-by+c,y'=bex+aey+d，。这些变换保持角的大小不变。
