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余元希：与自学青年谈怎样学习好数学

数学是一门重要的工具学科，随着时代的发展，科学技术的突飞猛进，数学的应用也越来越广泛。每一个有文化的人，不管他是干哪一行的，都需要具备一定的数学知识，具有应用数学这一工具，解决有关实际问题的能力。许多自学青年，正积极地在学习数学，希望了解怎样有效地学习好数学的一些诀窍。

怎样才能学习好数学，掌握数学的知识和技能，培养起应用数学的知识和技能解决实际问题的能力呢？这里我提出几点看法，供青年同志们参考。

一、前 提

要学好数学，我认为必须坚持循序前进、打好基础这一原则。这里所说的打好基础，主要包括着要学好数学的基础知识，练好研究数学所需用到的运算、画图、推理论证等等基本功。

数学是一门系统性很强的学科。数学的知识一般都是从一些最基本的概念出发，按照一定的逻辑顺序展开的。学习当前所讨论的内容，需要有先行的知识为基础，现在学习的内容，又常是学习后继知识的基础。前面的知识学得扎实，学习后面的知识，就能顺利；前面的知识，没有掌握好，学习后面的知识，就会困难重重。这一特点也就规定了学习数学必须循序渐进。

在小学数学的基础上，中学阶段所学习的数学是打基础的一个重要阶段。根据所研究的对象的重点，我们可以把它们在大体上划分成以研究空间形式为主的几何和以研究数量关系为主的代数与初等函数两条线。在几何这条线上，先学习平面几何，这时应该把平面图形的一些主要概念及其性质以及推理论证的方法这些最基本的知识学习好。学好这些知识，除掉它们本身的应用外，也正是为下一步学习立体几何、平面解析几何奠定基础。再就学习平面几何这门学科来说，线索更是十分明朗的，“三角形的全等与相似” 这一课题，一般认为在平面几何中占有特殊重要的地位。如能很好地加以掌握，那么学习关于多边形及圆的知识，就可迎刃而解。但是，要学习三角形的全等的知识及其应用，首先就得学好安排在它前面的那些先行知识。在代数与初等函数这条线上，研究的内容主要包括有 “数”、“式”、方程与 “不等式”、“函数”等部分，这些内容，一般都需要交错安排的，所以线索不像几何那样明朗，但是仍应注意循序前进。例如要学习高中代数中关于初等函数的那部分知识（这些知识是今后学习初等微积分的基础），一个重要的前提就在于主要学好在初中代数所学习的那些最基本的知识。如数和式的运算.方程和不等式的解法等等。另外，还应注意到数的研究、形的研究也不是绝对分开的。在我们打基础的阶段，要注意到两条线之间的相互呼应、相互配合。这里也有一个循序前进的问题。例如，在学习“三角形的解法”之前，就需要先学好三角形的相似形以及初中代数中的那部分知识。中学数学教学大纲中所规定的教学内容的安排是根据循序前进这一原则的，它可以作为自学青年制订自己的学习计划的参考。

学习数学离不开数和式的各种运算，把空间形式用图形来表达，以及进行推理和论证。这一些数学基本技能也是需要在学习的过程中循序前进地逐步培养起来的。就运算这一技能来说，首先要保证运算结果的正确性，再追求运算迅速。就画图这一技能来说，开始时应该学会使用工具来做出平面图形和空间图形的直观图，进一步还应该学会徒手作图。不管使用工具也好，徒手作图也好，都要做到正确反映了现实对象。更进一步，还要培养起不在纸面上做出图形而只是在头脑里想象的能力。至于推理和论证，必须从最简单的推理和论证学起，一开始就要学会正确运用有关方法，再逐步提高那就更不用说了。

把各种各样的有关实际问题，归结成为一个数学问题予以解决，这就是学习数学的一个重要目的。解题也是学好数学的一个重要手段。解题能力的培养也要注意循序前进，打好基础。要解题，首先就要掌握好有关的数学基础知识与基本技能。一个比较复杂的问题，一般都需要通过分析把它转化为一些简单的问题来解决。因此在学习某一内容的数学知识和技能后，就要学会运用这些知识和技能来解答一些最基本的、简单的问题，在这基础上进一步去解答那些较复杂的问题，逐步提高要求。分析和综合的能力也正是需要通过这样的过程逐步培养起来的。忽视基础知识的理解与掌握，不练好基本功，只是追求解难题偏题，向某些习题集讨教、死记硬背现成的解答，必然会事倍功半，甚至是徒劳无益。

总之，要学好数学我们必须在思想上重视，行动上做到切切实实的打好基础，要从头开始，步步前进。

二、要 求

要学好数学，应该有一个明确的目标，给自己提出一些具体的要求。要求是什么呢？我认为要求可以归结为五个字：“知”、“懂”、“会”、“熟”、“活”。

知：即知道所学习的内容是什么，为什么要学习这些内容。这是学习中必须达到的，也是起码的要求。数学的知识是由一些数学的概念和数学的规律（包括公理、定理、法则、方法等等）组成的。学习的第一步就应该做到对这些概念和规律有清楚的了解，这样下一步才能正确地加以运用。例如，在初中代数中学习一元一次方程这一课题，首先就要做到清楚地了解什么是方程、方程的解、解方程、一元一次方程等这一些数学槪念，了解解一元一次方程的法则和步骤，以及列出一元一次方程解应用题的方法，这样下一步才能应用这些知识来解具体的关于一元一次方程的问题。

懂：仅仅是知，所获得的知识，一般来说还是停留在表面上的，只能机械地加以记忆或者搬用， 而真正的知，还在于理解。这也就要求我们对于所学的知识不仅要知道它讲的是什么，而且要懂得它的来龙去脉。只有这样，我们对于所学的知识才能在理解的基础上加以记忆，牢固地加以掌握，即使一旦遗忘，也就有可能自己来进行推导使它重现。 例如在高中代数中 “两角和与差的三角函数” 这一项目，公式繁多，记忆困难，但是这些公式却是有着紧密的内在联系。学习中如果一开始就注意到第一组公式（两角和与差的正弦函数及余弦函数）所追求的目的（以这两个角的正弦或余弦函数的代数式来表达它们的和或差的三角函数）和公式的推导过程，那么即使一旦遗忘，或者记忆上有所模糊，也不难自己来进行推导。学习中我们不仅满足于知道一些有关的结论，而更着眼于追本逐源，收益还不仅仅如此。事实上，我们只要能掌握上面所说的那套公式推导过程中所使用的基本方法（从一个公式的导出出发，利用变量代换，应用先行知识来导出后继的公式），那么像倍角公式、半角公式之类公式，也就完全可以自己来进行推导，并加以推广，这样学习既省亊，印象也更深刻。

会：学习的目的在于应用。把学到的知识，学会应用显然是学习中必须达到的要求。会用也正是衡量是不是真正把知识学到手的一条主要标准。当我们从书本中学习了某一新的概念、定理、法则、方法，懂得了它们有什么应用，怎样应用之后，当然就要通过适当数量的练习，着手学会其应用，并通过应用，加深理解，加以巩固。这一过程中，主要的要求是要用得正确。应该注意的是要及时检查，如果发现错误，要及时找出原因，予以纠正，并吸取教训，避免重犯错误，数学里还有着许多更具有一般性的思想方法，我们也应该逐步学会其应用。例如 “转化” 就是常用的一种思想方法。在解高次方程中所用到的降次法，解方程组中所用到的消元法，都是基于这种思想方法。平面解析几何中，以直角坐标系为媒介，建立起一个点与一对有序实数间的一一对应和一条曲线与一个二元方程间的对应关系，把形数结合起来，使关于形的问题，利用数的知识来解决。例如几何中的一个已知圆与一条已知直线的位置关系，可以归结为代数中的一个二元二次方程组

的解的讨论来予以解决，其基本思想也就在于“转化”。又如把抽象的问题具体化，一般的问题特殊化，解决了具体的、特殊的问题之后，再反过来去解决原来的问题，这也是数学中常用的一种思想方法。例如，下面这一排列、组合问题就可以使用这一思想方法，寻求它的解答途径。

题目：平面上有 个点，其中有 个点在同一条直线上，此外不再有 个点同在一直线上，问经过这些点可以确定多少条不同的

（1）直线；（2）射线？

在这一问题中，如果没有 个点在同一直线，那是一个非常简单的问题，初学者只要掌握了排列、组合的概念和判断方法以及排列数、组合数的公式，立即可以作出解答：

现在的问题就在于题中有 个点在同一直线这一条件，而且所给的数据是用字母 表示的抽象的自然数，要解决它就有一定的困难。但是，如果你已经学会了运用上述的解题思想方法，那么也就有可能想到可以先把这个问题改造一下，使它在不失去一般性的前提下，变成一个既具体又简单的问题，从而能使用过去学过的列举法把可能的排列或组合具体作出，由此来寻求解题的方案。例如，可以设 （ 不合适， 不必要）（ 不合适， 不必要），并画出如下图形，由此就不难发现这个具体问题的一种解法：

把直线进行分类，应用加法原理，即

过直线 外两点确定的直线有 条；

过直线 上一点及 外一点确定的直线有

条；

由直线L上的点确定的直线只有1条。根据加法原理，总共可以确定的直线有

条。

注意到上式中的 ， 把它推广到一般情形，即得原题 （1） 的解应是

原题中（2）的解法，同样的可以利用上述的方法来。

数学中常用的思想方法还有不少，学习中应该有意识地进行探索（如果书本中没有明朗提出的话），予以掌握，学会应用。

熟：对于学到的知识和技能，不仅要能够正确地掌握它，而且要熟练地掌握它，这样才能应用自如。这显然是在知、懂、会的基础上，进一步应该达到的要求，这里就不详谈了。

活：熟能生巧，这只是说“熟”给“巧”提供了条件。巧意味着活--灵活地掌握知识、灵活地运用知识，因此，在熟的基础上，我们还得提出活这一要求。

我们所学习的数学知识内容是非常丰富的，知识是逐渐积累起来的，但是单纯地积累，知识就会僵化，所以还得通过消化，重行组织、进行概括、加以提炼。例如，在初中代数中学习了各种代数方程的解法，从知识的积累中，通过消化，体会到解方程的本质就在于通过适当的变形，把原方程变形成一个或几个形如 的方程，基本的思想方法是通过转化把它归结为解一个或几个一元一次方程或一元二次方程（实质上它也是归结到一元一次方程来解的，但由于它有现成的求根公式可用，所以也把它作为基础），这样也就可以把学过的那些知识，提炼成一张简单的图表，如

这样只要再掌握了降次、整式化、有理化的基本方法（因式分解、去分母、等号两边自乘同次方以及变量代换），注意到变形过程中是否同解（在初中代数中，一般只需通过检算剔除增根），也就掌握了所学过的那些内容。

掌握知识的灵活性，更体现在能够在已有知识的基础上，加以推广或扩展，能够触类旁通举一反三。例如，在学习一元二次方程时知道了方程 的两个根 与系数 之间有如下的关系：

尽管书本中还不曾讲过一元三次方程的根与系数的关系，遇到需要时，也应该能够通过自己的推导来获得应有的结论。又如：在学习排列和组合时，讨论的只是相异元素不许重复选取的排列和组合，如果我们不仅仅满足于这些知识，很自然地在思想上会引起“如果可以重复选取或者所给的元素中有重复元素怎么办？”的问题。这一问题的解决是有实用价值的，要解决它，看起来似乎也不太容易。但是如果能够灵活地掌握和运用以前所学过的知识，那么解决这个问题的基础还是有的。例如：

（1） 个相异元素中，选取 个元素，可重复的排列问题，可以直接应用加法原理来解决，由此还可导出公式 ；

（2） 个相异元素中，选取 个元素，可重复的组合问题，可以先把各种情况进行分类，拆成几个不重复选取的组合问题，再应用加法原理、乘法原理来解决。为了导出一般的公式还可以通过具体的、简单的例子，用列举法写出所有可能的组合，把其中有重复元素出现的设法变成不重复，再与相应的不许重复选取的组合问题进行对比，找出规律，由此推广到一般来得出有关公式。具体举例如下：

问题 在 四个数字中选取三个数字，数字可以重复，有几种不同选法？

解法一 选取的数字有三种可能：

（1）都重复，选法有 种；

（2）只有二个重复，选法有 种

（3）都不重复，选法有 种。

根据加法原理总共有选法

种。

（联想起 ， 这一结果，恰巧相当于在 个相异元素中选取 个不许重复选取的组合数，由此也可能得到一些启发）

解法二 应用列举法把各种可能组合列出下表：

共有 种

为了使重复元素变成不重复，在上表所列的每个数中，从第1个数字起顺次加上 得出下表：

共有 种

这张表正反映了在 六个数字中选取三个数字，不许重复选取的所有可能的组合，而 也就等于 .

把两者进行比较，可以发现一个重要事实：

这里符号 表示 个相异元素中取 个可以重复选取的组合数。

把这一规律推广到一般，也就可以导出公式

关于 个不尽相异元素的全排列问题，以及在其中选取 个 的选排列问题和组合问题的解法，这里不详细介绍了。有兴趣的读者，不妨自己试一试能不能把它解决 （提示，关键在于能通过举例，解决一个简单的不尽相异元素的全排列问题，由此导出一般的公式）。

同一个数学问题，往往有几种不同的解法，这就要求我们不只满足于能把问题解出，而且要尽可能地选择最简捷的解法，这也是灵活性的一种体现。例如举过的那个确定直线的例子，直接应用加法原理是一种常规的解法，但也可采用另一种解法，求得它的解是

这一解法就较简捷。又如，某些平面几何的问题，在学过三角、解析几何、复数、向量等知识之后，也不妨试用三角法、坐标法、复数法、向量法来解答，使思考过程比较简单，解法比较简捷。“一题多解” 是值得提倡的，但主要的着眼点应该着眼于质——灵活地、创造性地应用了学过的知识，而不在于量——片面地追求方法多。

知、懂、会、熟、活这五点要求是紧密联系着的，为了叙述的方便，我们把它们分成了层次，但这并不是说在学习中必须按照层次，按部就班地提高要求。例如，某些内容也可以在初步了解，知道了具体的方法之后，先学会应用，在获得了较多的感性知识的基础上再回过来把原理搞懂。

三、关键

要求既然已经明确，那么怎样才能全面地达到这些要求呢？多看——阅读有关的书籍，从而获得知识，扩大知识面。多动手——作有关的练习，从而巩固知识。学会应用，使之熟练。这些当然是必要的。另外还要多开动脑筋——多想、多问、勤于思考、善于提出问题，自己进行探索，找寻解决问题的途径。

数学中有不少内容，前后间的联系是十分紧密的。后者是前者的发展，只要善于思考，通过分析找出问题所在就可以利用已有的知识予以解决。学习这类内容，就不妨暂且不阅读书本中的材料，而自己先探索一下解决问题的办法。例如，在初中代数中学过一元一次方程及其解法之后，紧接着要学习由两个二元一次方程所组成的二元一次方程组的解法。在搞清楚了二元一次方程组以及它的解这些概念之后，对于具体的解法，也不妨直接不看书本而自己先进行一下探索。基础较好、能力较强的学习者通过分析也许有可能自己发现这里的问题就在于方程中有两个未知数，如果能把它变成只含有一个未知数的方程，那么就可以应用已有知识来解决，从而引起了消元的想法。经过进一步观察与探索，也许还可能发现由于这里给出了两个二元一次方程，联想起等量可以进行代换这一已有知识，而把用代入消元法解二元一次方程组的方法找到。初学者，由于过去缺乏经验，很可能不能一下子就能找到解决问题的途径，但是要先想一想，把问题找出来，再带着问题去看书本，学习书本中的解法，还是有好处的。这样有的放矢地进行学习，印象可以更深，效果更好。掌握了这种学习方法，并养成了习惯，今后知识增多了，经验丰富了，那么有些内容，更可以采用这种先探索再阅读的方法来学习。例如，在学习二元一次方程组的解法掌握了消元这一基本思想方法对于三元一次方程组的解法，就更有条件自己来探索；以后学习了一元二次方程的解法，掌握了降次这一基本思想方法，那么也就有可能综合应用消元和降次这两种思想方法来解决某些特殊的二元二次方程组的求解问题。学习书本中的某些内容，当然也可以采取直接阅读，把它搞懂的学习方法，这种方法有时还是必要的。但即使在这种情况下，也要强调探索，要追根究源，多想多问。

我们所学习的数学书本，在讲过某一新的知识之后，一般都配有适当数量的例题。这些例题大体上可以分成两类：一类例题目的只是在于举例说明当前所学知识的应用。学习这些例题，只需阅读一遍，把它看懂就够了。另外一类例题就比较复杂或者难度较高，要解决它们，不仅需要综合运用学过知识，而且要具备一定的思考能力。学习这一类例题更应该强调要采用先探索再阅读的学习方法。解决一个比较复杂的数学问题，一般有这样的过程：首先是在搞清题意的基础上，找寻解题途径；然后再按照这一途径作出解答；在解答完成之后，有时还需要对解法作出评价，考虑是不是有其它更好的解法。学习书本中的第二类例题也应该采取这样的过程。由于问题的难易程度不同，个人的知识水平和能力的基础不同，在第一步探索解题途径时，可以有不同的情况产生。最顺利的情况是确实找到了一条可行的解题途径。这时下一步只需作出解答与书本上的解答进行核对。如果解法不同，那么就要进一步探索一下，作出评价并总结经验。另一种情况是在探索自己认为找到了一条可行的途径，并且也作出了解答，但是与课本中的解答核对之下，却发现自己的解答是错误的。这时就应该先把书本中的解法看懂，并找出关键所在，此后还得回过来追究一下自己造成错误的原因，从而吸取教训。再有一种情况，自己虽然已经进行了努力，但仍感到无从着手，探索不出解题途径。在这种情况下，当然只能向书本请教了。不过仍应注意在搞懂了书本中所介绍的解法之后，还得回过来探索一下这一解法的思路，从而得到启发。这样地进行学习，花费的时间可能要多一些，但收益可更多。

四、注意

最后，我还想指出一点：要学好数学必须注意一个 “严” 字——要严谨、要严密，要严格。

逻辑严谨性是数学的主要特点之一。学习数学必须注意到这一特点，要做到言必有据，通过形象的直观、简单的枚举或者类比，抽象概括出一般的结论，这是发现真理的一种重要手段。在学习中我们应该通过训练，培养起这能力。但是直观不能代替论证。特殊不足以表示一般。所以应用上述手段所作出的结论，在数学中只是仅仅提供了一种合理的猜想，其最后得到承认，还得通过严谨的逻辑论证。我们当前所学习的作为学科的数学，限于学者已有知识的水平以及本学科体系安排上的需要，当然不可能像作为科学的数学那样追求逻辑上的绝对严谨，有些在科学数学里应该给出严格定义的概念，需要严谨地予以证明的定理，往往只是用描述的方法，作为定义、公理来引入，有些定理也只是通过举例验论，而不作证明；但自身还是保持着一定的逻辑系统。在学习代数等其它学科时，也同样要注意到这一点。在学习书本知识时，要习惯于问一问根据是什么，在自己应用知识解决问题的时候，更应该自问一下根据何在，是不是做到了言必有据。

数学中许多命题都是在一定的前提下成立的，前提不同，结论也可能不同。例如一元二次方程 根的判别式 是在实数范围内讨论的，命题

方程有两个相异实根

方程有两个相等实根

方程没有实根（两个共轭虚根）

这是在 都是实数，且 这一前提下成立，忽视了这一前提，应用时就要犯错误。又如，在平面解析几何中直线的点斜式 只能表示过点 且具有斜率m的所有直线，但并不表示过点 的所有直线，忽视了“具有斜率”这一前提，应用时也就要犯错误。要避免发生这类问题，学习中阅读就要仔细，思考要严密；在解题时更应予以注意。

下面我们举一个由于思考的不严密，解题中造成错误的例子。

题目：有 6 本不同的书，按 或

分成二堆，问各有几种不同分法？

解：

（种）

（种）

这里 （2） 的解答是错误的，为什么会造成错误呢？很可能这是受到 （1） 影响，盲目地应用了类比的方法，考虑问题时没有注意到 是三个不相等的数，而 则是相同的数。其实，像这种平均分组的问题，正确的解法应是：

对于上面的问题改造一下，我们进一步追问：

如果把 本不同的书，按 分成三堆，则有几种不同的分法？这里

这一问题，显然是原题的一般化，于是容易想到只需把原题中的数据换成字母就可以得到解答：

解:

（1） 如果 ， 则

（2） 如果 ， 则

但是，这一解答仍然是不完整的，因为讨论中还没有考虑到另一种情况 — 三个数中有两个相等，而在这种情况下，可能的分法种数应是:

（3）

数学中的一些术语和符号，它们的意义都有严格的规定，同一形式的符号在不同的场合可能具有不同意义，而同一个概念在不同的书籍里，用来表示的数学符号也可能不同。学习中对于这些术语和符号，必须首先明确其意义。

严格地按照规定的意义来使用。数学里的语言，特别要求具有确定性，不能模棱两可。例如上例中我们对 这三个数间的关系分类时，把第三种情况说成 “有且只有两个相等” 就排斥了三个都相等这一情况，如果略去 “只有” 两字，虽然在这里也不致会发生误解，但仔细推敲一下，就可发现这样讲是不严格的。学习中必须逐步培养起正确使用数学语言作既精确又简洁的合理表达能力。

作者简介：

余元希（1915-1989），又名余滬熙。上海市人。中国民主促进会会员、著名数学教育家、华东师范大学课程、教材、教法研究所教授。

1915年11月出生于浙江省慈溪县。1931年毕业于崇明县立师范学校师范专修科。即到小学任教，工作中对数学教学特感兴趣，立志继续深造，专攻数学。抗战期间，一边工作，一边进高中、大学读书。1945年毕业于上海交通大学数学系。此后即在上海市泸新中学、上海中学等校任数学教师，曾任上海中学教导主任，并开始了中小学数学教材教法的研究。1956年因工作需要调到华东师范大学数学系数学教学法教研室，专门从事于中学数学教材教法的教学与科研工作。曾任华东师范大学数学系函授主任、数学教学法研究组组长，华东师范大学教育科学院教材教法研究室副教授、教研室主任、教授，《数学教学》副主编，中国教育学会数学研究会第一届副事长，中国数学会理事、上海数学会常务理事、教育部高等院校理科数学教材编审委员会委员等职。。曾编写出版了中学数学教材教法研究丛书：《近似计算初步》、《函数概念》、《数的概念浅说》、《代数》、《初等代数研究》等书，并在上海等地的数学教学研究刊物上发表数十篇关于数学教学研究的论文，主要有：《略论中学数学教学的改革》、《关于排列和组合的教学》等。他又是一个积极热心于数学普及工作者，曾兼任《数理化自学从书》数学主编，并执笔编写了其中的代数第三、四册，以及其他科普读物。

余元希同志毕生从事数学教育工作，献身教育事业。在 58年的教师生涯中，曾担任过从小学一年级到研究生的数学教学工作，具有丰富的实践经验和很高的理论造诣。是著名的数学教学法专家。曾获上海市儿童少年校外教育先进工作者称号 （1982年）。