基础介绍
随着云计算的普及，现在大部分公司都把数据与应用迁往了不同的公有云平台，云平台也提供了丰富的数据安全性保障，覆盖了存储加密，传输加密以及便利的密钥管理。但这些加密措施都是在服务器端完成的，也就是说公有云厂商是同时掌握了密钥和密文的。从云平台用户角度来说，我们只能信任厂商，会遵守约定的服务方式，不会访问我们上传的隐私数据。
在密码学领域，同态加密（Homomorphic Encryption, HE）的快速发展在未来可以很好的解决这个问题。它的理念是通过特定的加密算法，实现对已经加密的密文进行处理后，等同于对明文数据直接进行特定的计算。
如下图所示，本地数据加密后才上传到云端进行存储，云端因为没有密钥无法获知密文内容。当数据有需要进行计算时，由云端直接对存储的密文进行计算，计算结果返回给本地后再进行解密。解密后的结果f'和直接对明文进行计算获得的结果F‘(m0,m1)是一样的。这就在充分利用了云平台存储和计算能力的情况下，又隔离了云平台对敏感数据的访问。
同态加密的发展
同态加密针对能支持的运算分为两类，一是全同态加密(Fully Homomorphic Encryption-FHE),能支持任何给定的计算函数F。另一类是半同态加密(Partially Homomorphic Encryption-PHE)，它只支持加法或乘法中的一种运算。
目前比较成熟的半同态算法有： RSA算法(乘法同态)，EIGamal算法(乘法同态)和Paillier算法(加法同态)。全同态算法是从2009年开始提出，目前主要有BGV，BFV，GSW和CKKS方案。
方案实现
建议先阅读RSA加密算法理解非对称加密中涉及到的基本数学知识
1. RSA算法
RSA加密算法在不增加随机数的情况下是满足乘法同态的，我们可以快速证明
有两个明文消息
用公钥e进行加密得到 ；
密文结果做乘法运算：
这和明文先做乘法运算再加密是一样：
2. Paillier算法
Paillier加密算法也是一种公钥加密算法，基于符合剩余类的困难问题。算法包含太多数论知识我们就不详细介绍，有兴趣的朋友可以去阅读参考文献#2.
Pailier是满足加法同态的，我们做个快速验证
密钥： 公钥pk = (n, g) 私钥sk =
数据加密： 其中
数据解密：
我们验证下这个算法是否满足加法同态
因为随机数 所以
//剩余定理
所以对明文做加法后再加密：
也就是说明文相加的结果，是等于对密文结果的乘积进行解密后的结果，所以该算法满足加法同态加密
限制与应用
全同态计算是一个非常理想的方案，能确保数据的计算过程中不会泄漏任何原始数据中包含的隐私信息，可以应用于各类需要安全计算的场景。但现有的FHE方案在加、解密效率上较低, 构造方式和实现技术也很复杂, 这阻碍了在实际业务场景中的落地。
而相对来说PHE已经得到了广泛的应用，联邦学习中就利用PHE实现在不暴露明文数据情况下实现对模型参数的更新。谷歌也有通过结合Paillier加密算法和多方安全计算，实现了帮助广告主在符合隐私前提下评估广告转化效果的应用开发。
参考资料：
1. Freebuf - 同态加密：实现数据的可算不可见 - 作者：狴犴安全团队
2. 知乎 - Paillier半同态加密：原理、高效实现方法和应用 - 作者：峰青
