近世代数理论基础43：根式可解与伽罗瓦群

根式可解与伽罗瓦群

引理：设p为素数, $\zeta=\zeta_p\in F$ 为p次本原单位根, $E/F$ 是p次循环扩张,则有 $d\in E$ ,使 $E=F(d),d^p\in F$ ,故 $E/F$ 是根式扩张

证明：

$取c\in E,c\notin F$

$\because [E:F]=p$

$\therefore E=F(c)$

$令G=Gal(E/F)是由元\sigma生成,\sigma^p=1$

$记c_i=\sigma^{i-1}(c)\in E(1\le i\le p)$

$则c_1=c,\sigma(c_i)=c_{i+1}(1\le i\le p-1),\sigma(c_p)=c_1$

$定义d_i=c_1+c_2\zeta^i+c_3\zeta^{2i}+\cdots+c_p\zeta^{(p-1)i}\in E$

$\because \sigma(\zeta)=\zeta\in F$

$\therefore \sigma(d_i)=c_2+c_3\zeta^i+\cdots+c_1\zeta^{(p-1)i}=\zeta^{-i}d_i$

$\therefore \sigma(d_i^p)=\sigma(d_i)^p=(\zeta^{-i}d_i)^p=d_i^p\in F,1\le i\le p$

$以c_1,c_2,\cdots,c_p为变量的线性方程组$

$c_1+c_2\zeta^i+c_3\zeta^{2i}+\cdots+c_p\zeta^{(p-1)i}=d_i(1\le i\le p)$

$系数行列式为1,\zeta,\cdots,\zeta^{p-1}的Vandemond行列式$

$\because 1,\zeta,\cdots,\zeta^{p-1}互不相同$

$行列式不为0$

$\therefore c_1,c_2,\cdots,c_p是d_1,d_2,\cdots,d_p的F-线性组合$

$\because c=c_1\notin F$

$\therefore \exists d_i\notin F,取d=d_i\qquad\mathcal{Q.E.D}$

引理：设 $f(x)\in F[x],K/F$ 为域扩张,则 $f(x)$ 再K上的伽罗瓦群同构于 $f(x)$ 在F上的伽罗瓦群的子群

证明：

$设E为f(x)在F上的分裂域$

$L为f(x)在K上的分裂域$

$f(x)在E中的根为r_1,r_2,\cdots,r_n$

$则E=F(r_1,r_2,\cdots,r_n),L=K(r_1,r_2,\cdots,r_n)$

$定义同态映射$

$\varphi:Gal(L/K)\to Gal(E/F)\\\sigma\mapsto \sigma|_E$

$其中\sigma|_E表示\sigma在E上的局限$

$若\sigma\in Ker(\varphi),则\sigma|_E=1$

$\therefore \sigma(r_i)=r_i(1\le i\le n)$

$\therefore\sigma=1$

$\therefore \varphi是一个单同态$

$Gal(L/K)同构于Gal(E/F)的一个子群\qquad\mathcal{Q.E.D}$

引理：设 $E/F$ 为有限可分扩张,N为包含E的F上的最小正规扩张(称为E在F上的正规闭包),若 $E/F$ 有根式扩张序列,则 $N/F$ 也有根式扩张序列

证明：

$设E/F有如下根式扩张序列$

$F=F_1\subseteq F_2\subseteq \cdots \subseteq F_{r+1}=E$

$其中F_{i+1}=F_i(d_i),d_i^{n_i}\in F_i(1\le i\le r)$

$则E=F(d_1,d_2,\cdots,d_r)$

$\because 域F的特征为0$

$N/F为正规扩张$

$\therefore N/F为有限伽罗瓦扩张$

$令Gal(N/F)=\{1=\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n\},n=[N:F]$

$则N=F(d_1,d_2,\cdots,d_r,\sigma_2(d_1),\cdots,\sigma_2(d_n),\cdots,\sigma_n(d_1),\cdots,\sigma_n(d_r))$

$考虑如下扩张序列$

$(1)F\subseteq F(d_1)\subseteq F(d_1,\sigma_2(d_1))\subseteq \cdots\subseteq F(d_1,\sigma_2(d_1),\cdots,\sigma_n(d_1))$

$(2)\subseteq F(d_1,\sigma_2(d_1),\cdots,\sigma_n(d_1),d_2)$

$(3)\subseteq F(d_1,\sigma_2(d_1),\cdots,\sigma_n(d_1),\sigma_2(d_2))\subseteq\cdots\subseteq N$

$\because \sigma_2(d_1)^{n_1}=\sigma_2(d_1^{n_1})=d_1^{n_1}\in F$

$\therefore (1)处为根式扩张$

$\because d_2^{n_2}\in F_2\subseteq F(d_1,\sigma_2(d_1),\cdots,\sigma_n(d_1))$

$\therefore (2)处为根式扩张$

$\because \sigma_2(d_2)^{n_2}=\sigma_2(d_2^{n_2})\in \sigma_2(F_2)=\sigma_2(F(d_1))$

$\subseteq F(\sigma_2(d_1))\subseteq F(d_1,\sigma_2(d_1),\cdots,\sigma_2(d_1),d_2)$

$\therefore (3)也为根式扩张$

$类似可证其他位置都是根式扩张$

$\therefore有根式扩张序列\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：F的特征为0, $f(x)\in F[x]$ 且为首1多项式, $deg\; f\ge 1$ ,则 $f(x)=0$ 在F上根式可解当且仅当 $f(x)$ 在F上的伽罗瓦群为可解群

证明：

$假定f(x)=0在域F上根式可解$

$则有根式扩张序列$

$F=F’_1\subseteq F_2’\subseteq \cdots\subseteq F’_{r+2}=K(\zeta)$

$其中F’_2=F_1(\zeta)=F’_1(\zeta),F’_3=F_2(\zeta)=F’_2(d_1),\cdots,F’_{r+2},F_{r+1}(\zeta)=F’_{r+1}(d_r)$

$\because F的特征为0$

$\therefore \Q\subseteq F$

$\Q(\zeta)是多项式x^n-1在\Q上的分裂域$

$F(\zeta)是x^n-1在F上的分裂域$

$又Gal(\Q(\zeta)/\Q)同构于模n的缩剩余系(\Z/(n))^*$

$\therefore Gal(F’_2/F’_1)=Gal(F(\zeta)/F)同构于(\Z/(n))^*的一个子群,为交换群$

$\because F’_1\subseteq F’_2\subseteq K(\zeta)$

$\therefore Gal(K(\zeta)/F’_2)\lhd Gal(K(\zeta)/F’_1)$

$且其商群同构于Gal(F’_2/F’_1),为交换群$

$\because F’_{i+1}=F’_i(d_{i-1})(2\le i\le r),d_{i-1}^{n_{i-1}}\in F’_i$

$且\zeta^{n/n_{i-1}}\in F\subset F’_i,\zeta^{n/n_{i-1}}为n_{i-1}次本原单位根$

$\therefore F’_{i+1}是F’_i的伽罗瓦扩张$

$且Gal(F’_{i+1}/F’_i)同构于加法群\Z/n_{i-1}\Z的子群$

$故为交换群$

$\therefore Gal(K(\zeta)/F’_{i+1})\lhd Gal(K(\zeta)/F’_i)$

$且其商群同构于Gal(F’_{i+1}/F’_i),为交换群$

$综上所述,Gal(K(\zeta)/F)有一个正规子群链$

$Gal(K(\zeta)/F)\rhd Gal(K(\zeta)/F’_2)\rhd\cdots\rhd Gal(K(\zeta)/F’_{r+2})=\{1\}$

$且其中任两个相邻子群的商群都为交换群$

$\therefore Gal(K(\zeta)/F)是可解群$

$\because F\subseteq E\subseteq K(\zeta)$

$\therefore Gal(E/F)同构于Gal(K(\zeta)/F)的一个商群$

$\therefore Gal(E/F)是可解群$

$反之,若f(x)=0在F上的伽罗瓦群G=Gal(E/F)是可解群$

$其中E为f(x)在F上的分裂域$

$令n=|G|=[E:F],F_1=F,F_2=F_1(\zeta),\zeta=\zeta_n,K=E(\zeta)$

$\therefore Gal(K/F_2)=Gal(E(\zeta)/F_2)同构于Gal(E/F)的子群$

$\therefore 也是可解群$

$\therefore 有正规子群链$

$Gal(K/F_2)=H_1\rhd H_2\rhd \cdots\rhd H_{r+1}=\{1\}$

$其中任两个相邻子群的商群为交换群$

$由群的第一同构定理$

$可认为上述正规子群链中任两个相邻子群的商群都是素数阶循环群$

$相应的域扩张序列为$

$F_2\subseteq F_3\subseteq \cdots\subseteq F_{r+2}=K$

$F_{i+1}/F_i(2\le i\le r+1)为素数阶循环扩张$

$记阶为p_i$

$\because \zeta_n\in F_2,p_i都是n的因子$

$\therefore \zeta_{p_i}\in F_i$

$\therefore F_{i+1}/F_i(2\le i\le r+1)都是根式扩张$

$又F_2=F_1(\zeta),\zeta^n=1,显然也是根式扩张$

$\therefore F=F_1\subseteq F_2\subseteq \cdots \subseteq F_{r+2}=K是根式扩张$

$且E\subseteq K=E(\zeta)$

$\therefore f(x)=0在F上根式可解\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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