伽罗瓦理论比较复杂，这里不做证明，只做一个简单的概述，读者通过这个概述可以明白其大概表达的含义是什么。
首先，伽罗瓦理论是关于高次方程可解性判别的理论，决定高次方程（通常是>=5次）的方程是否有根式解， 伽罗瓦对这个问题给出了完全的解答，结论之一是 一般的高次方程(>=5次） 无根式解；
所谓根式解，是指解的表达式中，只包含 以及开根运算(可以任意次根）
对于一般的2,3,4次方程都有求根公式，但对于5次方程，历史上很长一段时间无人求解，直到阿贝尔和伽罗瓦给出这个问题的解答，证明一般5次方程无根式解
下面简述为何5次方程无根式解，其基本思路如下：
1，首先介绍数域的概念
数域简单来说就是一系列关于 计算封闭的数的集合，举3个例子：
1)有理数域Q ， 任何两个有理数经过 4则运算 仍然是有理数
2)有理复数， 形如 的数，其中
,容易证明其仍然对4则运算封闭；
- 所有形如
，其中
可见数域有很多，同时数域之间存在包含关系，比如说 Q 就显然被包含在 2)中的数域中，如果两个数域K,L满足则一般记作
称L是K的扩域
2，分裂域
给定一个n次方程，其系数所在的数域记作K，根据代数基本定理，其恰好有n个根，（这里大前提假定存在一个数域M,包含方程的所有根，伽罗瓦并没有证明这一点，只是默认这样的数域存在 ，所谓一个数域包含方程的根，指的是这个数域中存在一个数，我们将这个数代入这个方程，则等式成立，很显然，只有M:K时这个将数代入方程的计算才有意义）
则我们可以找到M的一个子域，这个子域L满足2个条件
1)L包含M中方程的所有根
2)不存在L的真子域也包含M中方程的所有根
（可见简单的理解为L是最小的包含方程所有根的域）
这个L被称为这个方程在系数域K 上的分裂域 （意思就是方程可以在这个域上分裂为线性因子乘积)
3， 方程可根式解蕴含的一个必要条件
方程可以根式解，意味着我们可以进行如下操作：
1)在系数域K的基础上，通过添加K中的某个元素k的n(可假设为素数，因为任意整数可分解为素数乘积) 次根，得到一个更大的域 K';
2)然后在K'上继续上述操作...
3)最终我们得到一个域L 恰好是方程的分裂域
简单来说，就是如果一个方程可解，那么意味着方程的分裂域 L和系数域K存在如下关系:
并且其中 每个域 是 通过向
中添加其某个元素的n次根得到的
4, 伽罗瓦群 （核心概念）
伽罗瓦主要研究了上面的域塔必须满足什么样的条件，或者说有什么样的性质；
为了描述这个性质，必须引入伽罗瓦群的概念；
给定域扩张 则这个扩张的伽罗瓦群
:= L的所有K自同构映射所组成的群 $
这里首先引入两个，自同构映射的概念，所谓自同构映射，指的是一个数域到自身的映射f（就是普通数学中的映射），这个映射f具备保持 四则运算不变的性质，
也就是说，如果给定L中任意两个元素 , 同时这个映射还必须是一个双射，这样的映射就叫做自同构映射；
举例来说，以有理数域 为例，
就是一个自同构映射,这个被称为平凡自同构，它在自同构中起的作用相当于0在加法中的作用
所谓L的K自同构映射 指的是 除了该映射是L->L上的自同构之外，还有附加条件，就
是
那么L的所有K自同构映射 组成了一个集合 ，这个集合恰好是一个群
这里引入群的概念，我们不给出一般群的定义，只给出映射组成群的定义，
大家都知道映射是可以复合的，比如两个映射 ,
我们可以定义复合映射 ,容易证明 如果两个映射都L的K自同构映射，其复合映射也是 L的K自同构映射；把这种复合看成 两个映射之间的一种2元运算，也就是把2个映射 映射到 1个映射 的映射；
那么，我们就在L的K自同构映射的集合上添加了一种运算符 ,这个运算满足封闭性（也就是上面所述的），同时存在单位映射（也就是上文的平凡映射），它和任何映射的复合 仍然是 那个映射本身， 以及逆映射 ;
那么只要一个集合上的2元运算满足以上性质，就构成一个群；
不难证明，L的所有K自同构映射 在映射复合的基础上构成了一个群，这个群就是
5, 最后我们给出伽罗瓦理论的描述
我们回到3中提出的问题，给定满足3中条件的域塔:
其满足
每个域 是 通过向
中添加其某个元素的n次根得到
那么如果域塔满足这个条件，伽罗瓦提取出了该域塔必须满足的一个必要条件，那就是：
给定群:
伽罗证明了
(1)这些群，满足以下包含关系:
(2)并且 每个群 是
的正规子群 （子群的概念和子域类似，指的是一个群的子集本身关于该群的计算封闭； 正规子群就是一种特殊的子群）
(3), 对
的商群（群和其正规子群可以做除法，从而产生商群，具体定义略）是个p次循环群（最简单的一种群，阶数为p）
同时伽罗瓦最大的发现还在于，他证明该条件不但是一个必要条件，也是一个充分条件，也就是说，如果
存在一个降正规列（类似上述的群塔，每一个是右边一个的正规子群，且商群为p次循环群 ，直到只包含一个元素的群{e} ;同时 具备该性质的群Gal(L:K)被称为可解群）
那么我们就可以反过来构建出上述域塔，直到包含方程的所有根；
如此，就得到了一句著名的论断：
一个方程可以根式求解 当且仅当 其分裂域在系数域
上的扩张
对应的伽罗群
为可解群 ；
当然，这里面省略了很多细节，不过思路是说清楚了，最后利用上述论断，可以把方程是否可根式解的问题转换为伽罗瓦群的可解性问题，而域的话通常包含无穷元素，但伽罗瓦群是有限群，只包含有限个元素，因此理论上一个群是否可以解 一定可以在有限时间内求解出来；
同时伽罗瓦论证了，对于一般的5次方程或者更高次方程来说，其伽罗瓦群恰好不可解，因此一般的5次或更高次方程就无根式解了； 所谓的一般的方程的5次方程，指的是系数都是未知数（用字母表示的那种）方程；不排除某些特殊方程（例如分圆方程 ）可以根式求解；
后记：
伽罗瓦被认为 是人类历史上最具创造力的数学家之一，个人认为他解决该问题主要借鉴了2位大师的研究成果和思路，
一个是拉格朗日（曾系统研究过5次方程解问题，提出了拉格朗日预解式的概念，对于L:K中的L可以给出精确刻画；在伽罗瓦理论推理中起到重要作用，同时也意识到置换（其实就是置换群）对方程根的决定意义，但没有明确提出）
另外一个就是高斯（系统解决了分圆方程的根式求解问题，其中已经蕴含域扩张的思想只不过没有明确提出，同时分圆域和正规扩域有着密切联系，其中一些计算技巧也被伽罗瓦直接借鉴）
不过伽罗华最大的贡献在于提出了群的概念，把域和群结合起来，
伽罗瓦只活了21岁，大概在18-21岁解决了这个问题，被认为是早逝的天才，
同时伽罗瓦理论对域的分析的直接推论也可以解决古希腊三大难题中的两个
三等分已知角 ，倍立方 都是不可能的 （证明思路大概都是说不存在那样的域扩张）
伽罗瓦之后数学渐渐走向抽象的现代数学，因此这是一个值得纪念的里程碑事件
