C语言经典面试题-约瑟夫环问题分析

好久没有看有关算法的问题了,今天废了不少劲,再感叹一句:要想学好算法就要常练习,没什么捷径可走。废话不多说,如下:

问题描述:有m个人,围成一个环,编号为 0、1、2、3、、、m-1,从第一个人开始循环报数,假设数到n的那个人出列,然后从下一个人继续数数,数到n出列,以此循环,最后那个人为胜利者,求胜利者的编号。

分析如下:
设m为人的个数 n为要数的数 k为从第几个人开始数.

第一次的数列,记为A:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 、、、n%m k、、、m-2 m-1

假设第一次出列了一个人,则编号肯定为n%m-1(减1因为从零开始)。k=n%m,第一次出列后的数列为:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 、、、k、、、m-2 m-1

第二次从k开始数数那么可以组成新的数列,记为数列B:
k->0
k+1->1
k+2->2
k+3->3



k-3->m-3
k-2->m-2
如果我们知道了数列B的最终胜利者是的编号是x,那么x在原来数列A中的编号是多少呢?很容易算出来:(x+k)%m,而k=n%m,替换后为(x+n%m)%m=(x+n)%m(x+n)%m为数列A的胜利者。那么x又该如何求呢,我们可以求数列C,就这样这么以次类推。直到只有一个人时,胜利者的编号肯定为0.
假设f(y)为胜利者:则有
f(1)=0;
f(2)=(f(1)+n)%2;
f(y)= (f(y-1)+n)%y; y为数列的人数,n为要数的数

以下为编程实现,将f(y)替换为number,y替换为i

/*********************************************************************** 
**m总人数,则标号为0~m-1   n为要数的数 
**成功返回序号1~m,失败返回-1 
***********************************************************************/  
int winner(int m, int n)  
{  
    int i;  
    int number;  
    if (m <= 0 || n <= 0) {  
        return -1;  
    }  
    number = 0;                        /* 当只有一个人时,编号为0的出圈 */  
    for (i = 2;i <= m;i++) {           /* 循环m-1次将剩下一个人         */  
        number = (number + n % i) % i; /* 这样写易理解,或(number+n)%i  */  
    }  
    return number + 1;                 /* 程序从0编号,返回时应+1       */  
}
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