第28课正定矩阵和最小值

第一目标，如何判断一个矩阵是否是正定的

$x^TAx>0$ 得出几何上的解释，椭圆和正定性有关，双曲线与正定性无关，当极小存在时，怎样找出极小值？

$A$ 是对称矩阵 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$

$\lambda_1>0,\lambda_2>0$ ；(特征值判定)
$a>0,ac-b^2>0$ ；(行列式判定，所有行列式)
$a>0,\frac{ac-b^2}{a}>0$ ；(主元，所有主元)
$x^TAx>0$

例：
$\begin{bmatrix}2&6\\6&b\end{bmatrix}$
当 $b=19$ 时，为正定的

当 $b=18$ 时，为不完全正定，称之为半正定矩阵， $\lambda_1=0,\lambda_2=20$ ,由于存在等于0，所以定义为半正定
$\begin{align} \underbrace{\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix}}_{x^T} \underbrace{\begin{bmatrix}2&6\\6&18\end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}}_{x}&= \begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2x_1+6x_2\\6x_1+18x_2\end{bmatrix}\\ &=x_1\times(2x_1+6x_2)+x_2\times(6x_1+18x_2)\\ &=2x_1^2+6x_1x_2+6x_1x_2+18x_2^2\\ &= \underbrace{2}_{a}x_1^2+ \underbrace{2\times6}_{2b}x_1x_2+ \underbrace{18}_{c}x_2^2 \end{align}\\ \to ax^2+2bxy+cy^2(二次形，不再是线性的)$

$Ax$ 是线性的，引入 $x^T$ ，升到二阶，纯二次形没有线性部分，它是否大于0？
$f(x,y) = x^TAx=ax^2+2bxy+cy^2$

$\begin{bmatrix}2&6\\6&7\end{bmatrix}\\ \begin{align} f(x_1,x_2)&=2x_1^2+12x_1x_2+7x_2^2\\ &=2(x_1+3x_2)^2-11x_2^2 \end{align}\\ ax^2\geq 0;cy^2\geq0;ax^2+cy^2要足够大于2bxy$

$\begin{bmatrix}2&6\\6&20\end{bmatrix}\\ \begin{align} f(x,y)&=2x^2+12xy+20y^2\\ &=\underbrace{2(x+3y)^2}_{\geq 0}+\underbrace{2y^2}_{\geq 0} \end{align}\\$

一阶导的最小为0，不足以说明是极小值；二阶导控制一切，矩阵告诉我们的是二阶导数。在微积分中判断极小值的首要条件是导数必需等于0，此时并不能知道是极大值还是极小值，为了确定是极小值还得看来看二阶导数，二阶导数必须为正，当通过最小点后，斜率必须是变大的，二阶导数为正这里变成二阶导数矩阵的正定性，如此来判断极小值。

在微积分开始部分，极小值与二阶导数为正相关联，一阶导数为0。

在线性代数中 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 存在极小值的条件是当二阶导数矩阵是正定的，(从一个数二阶导数变成矩阵为正定矩阵)。

如果矩阵为正定时，图形结果的上部为椭圆截面，令 $f(x_1,x_2)=1$ ，高度为 $1$ 的横切面，如果在鞍点情况下切割，就得到一个双曲线
$\underbrace{\begin{bmatrix}2&6\\6&20\end{bmatrix}}_{A}= \underbrace{\begin{bmatrix}1&0\\3&1\end{bmatrix}}_{L} \underbrace{\begin{bmatrix}2&6\\0&2\end{bmatrix}}_{U}\\ f(x,y)=2x^2+12xy+20y^2 = \underbrace{\overbrace{2}^{U第一个主元}(x+3y)^2+\overbrace{2}^{U的第二个主元}y^2}_{配方式子}$
正主元，就是平方项外边的系数，因此正主元，平方和一切为正，图像向上，原点是极小点，一切都联系在一起

为了存在极小值 $\underbrace{f_{xx}}_{f在x方向上的二阶导数},\underbrace{f_{yy}}_{f在y方向上的二阶导数}$ ，必须为正，还须足够大来抵消混合导数的影响
$A=\begin{bmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{bmatrix},A必须是正定矩阵\\ 行列式条件(f_{xx}f_{yy}>f_{xy}f_{yx})$

例 $3\times3$

首先是否为正定矩阵，

其次和它相关联的函数是多少？

$x^TAx$ 是多少？
$A=\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}$

首先求行列式：
$A_{1\times1}=2,|A_{2\times2}|=3|A_{3\times3}|=4\\ x^TAx=\\A_{11}x_1^2 + A_{22}x_2^2 + A_{33}x_3^2 + A_{12}x_1x_2 + A_{21}x_1x_2 + A_{23}x_2x_3 + A_{32}x_2x_3 + A_{13}x_1x_3 + A_{31}x_1x_3 \\ =2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3 >0$
特征向量说明主轴方向；

特征值说明轴的长度或半长或特征值例数

$Q\Lambda Q^T$ 特征值理论中最重要的分解，由于对称阵的对角化可用转置代替逆

条件：

各级行列式为2，3，4
主元2，3/2，4/3
主元的乘积等于相应的行列式(二级行列式等于 $2\times \frac{3}{2}=3$ ，三级行列式等于 $2\times\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}=4$ )
当前行列式等于前级主元的乘积
特征值 $2-\sqrt{2},2,2+\sqrt{2}$
- 用迹检查3个特征值是否正确， $迹=2+2+2=6$ ， $2-\sqrt{2}+2+2+\sqrt{2}=6$
- 用行列式检查 $(2-\sqrt{2})\times2\times(2+\sqrt{2})=4$

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