2021-04-30 离散傅里叶变换DFT的纯数学理解

本文是介绍离散傅里叶变换的，实际上笔者看过了n多文章或者书籍介绍傅里叶变换

，但是关于从傅里叶级数到连续傅里叶变换，再到离散时间傅里叶变换，再到离散傅列叶变换，尚未发现有文章能把整个逻辑链介绍清楚的。

因此笔者另辟蹊径，从一个非常独立的视角来

推导离散傅列叶变换公式。

问题：给定一个离散复信号 $x[t] (0<=t<N ,t\in Z)$
以及给定以下N个离散复信号
$e_k[t] = e^{2\pi kt\sqrt{-1}/N}/\sqrt{N} (0<=t<N , 0<=k<N ,n,t\in Z)$

现在要求复数: $X[0],X[1],...X[N-1]$ 使得
对任意 $0<=t<N,t\in Z$ 有:
$x[t]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k] e_k[t]$ (1)

解:
那么，我们可以把上面N个等式，表达为矩阵形式:
记 $X=(X[0],X[1],...,X[N-1])^T$
$x=(x[0],x[1],...,x[N-1])^T$
$a_{i,j} =e_j[i]$
$A=(a_{i,j})$
[ $N*N$ 矩阵，第 $i+1$ 行， $j+1$ 列为 $a_{i,j}$ ，后文中对于一般的矩阵 $T,T_{i,j}$ 表示其 $i+1$ 行, $j+1$ 列元素，不再赘述]
则，方程组(1)可以简写为:
$x=AX$
=>
$X=A^{-1}x$

下面证明 $A$ 是酉矩阵(逆矩阵为共轭转置的矩阵)
设 $A$ 的共轭转置矩阵为 $B$
则 $B_{i,j}= \overline e_i[j] =e^{-2\pi ij\sqrt{-1}/N}/\sqrt{N}$

$AB_{i,j}=\sum_{k=0}^{N-1} A_{i,k}B_{k,j}$
$= \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi ik\sqrt{-1}/N} e^{-2\pi kj\sqrt{-1}/N}/N$
$=\sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi k(i-j)\sqrt{-1}/N}/N$ (2)
当 $i=j$ 时，上式 $= 1$
当 $i!=j$ 时，上式 $=0$ (证明略)

综上， $A$ 确实是酉矩阵,则
$A^{-1}=B$
将 $X=Bx$ 表达为一般形式，有:
对 $0<=k<1,k\in Z$
$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} e^{-2\pi kn\sqrt{-1}/N}/ \sqrt{N} *x[n]$
如果记 $Y[k]=\sqrt{N}X[k]$
我们便得到了标准的离散傅里叶变换表达式:
$Y[k] = \sum_{n=0}^{N-1} e^{-2\pi kn\sqrt{-1}/N}*x[n]$

综上，离散傅里叶变换可以理解为把离散信号:
$x[t] (0<=t<N ,t\in Z)$ 展开为正交基 $e_k[t]$ 的线性组合
之后，其系数的求解公式（乘以一个常量因子）

至此，就得到了离散傅里叶变换DFT的一个纯数学的非常简明的理解。

最后编辑于：2021.05.03 15:35:29

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