如何有效定义问题

边界条件和初始条件

在『2W2H』框架(俗称“费曼框架”)中,What是其中的关键一环,核心就是下定义,打比方,举例子——就像是一个圆,用以界定问题的中心和边界,用人话来说就是确定所要说明的事物的“一亩三分地”,超出这个范围的部分就不是自己要考虑的了。

当把『2W2H』框架用在科研问题或者是需要带着科学态度去探索的问题当中时,What部分需要明确定义自己的研究问题。而关于定义研究问题,我在复习《数学物理方法》(@梁昆淼)时,看到了让我豁然开朗的方式:定义自己的研究问题,就是要确定所研究问题的“边界条件”和“初始条件”。

比如针对我自己所研究的阵列信号处理,研究问题的“边界条件”在这里指的是研究问题的领域范围,是水声还是无线电,如果属于水声的话是深海还是浅海,不同的领域范围所对应的环境条件或者假设都是不同的,相应地所采用的数学模型也是有所差异的。

研究问题的“初始条件”在这里指的是研究问题的基本参数条件或者假设,即便是细分后的研究问题仍然存在多种数学模型可用,且模型中存在多个假设已知的参数,为了方便研究,需要对自己不关心的或次要的参数进行合理地假设(比如阵列阵型,导频信号格式),从而得到更加具体的研究问题的定解条件,构成清晰明确的定解问题。

定解问题有关摘录

注:以下摘录自 @梁昆淼 编.《数学物理方法(第4版)》,2010. P107 - 第七章 数学物理定解问题

解决在时空中不断变化的物理问题,当然首先必须掌握所研究的物理量在空间中的分布规律和在时间中的变化规律,这就是物理课程中所研究并加以论述的物理规律,它是解决问题的依据。物理规律反映同一类物理现象的共同规律,即普遍性,亦即共性。可是,同一类物理现象中,各个具体问题又各有其特殊性,即个性,物理规律并不反映这种个性。

@文刀 正因为万千个性,所以才需要“具体问题具体分析”。

为了解算具体问题,还必须考虑到所研究的区域的边界处在怎样的状况下,或者,换个说法,必须考虑到研究对象处在怎样的特定“环境”中。我们知道,“超距作用”是不存在的,物理的联系总是要通过中介的(这在物理学中引起各种场的概念),周围“环境”的影响总是通过边界才传给研究对象,所以周围“环境”的影响体现于边界所处的物理状况,即边界条件

还有,研究问题不能割断历史。为了解和计算随着时间而发展变化的问题,还必须考虑到研究对象的特定“历史”,即它在早先某个所谓“初始”时刻的状态,即初始条件

边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史,即问题的特殊性,亦即个性。在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件

关于物理规律的数学表示:物理规律用偏微分方程表达出来,叫做数学物理方程;数学物理方程,作为同一类物理现象的共性,跟具体条件无关——在数学上,数学物理方程本身(不连带定解条件)叫做泛定方程。这样,具体问题在数学上的完整提法是:在给定的定解条件下,求解数学物理方程。这叫做数学物理方程定解问题,或简称为定解问题

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