小结
- 分块矩阵
- 分块矩阵运算
- 分块矩阵的逆
分块矩阵
矩阵![\boldsymbol{A} = \left[\begin{array}{ccc|cc|c} 3 & 0 & -1 & 5 & 9 & -2 \\ -5 & 2 & 4 & 0 & -3 & 1 \\ \hline -8 & -6 & 3 & 1 & 7 & -4 \end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7BA%7D%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Ccc%7Cc%7D%203%20%26%200%20%26%20-1%20%26%205%20%26%209%20%26%20-2%20%5C%5C%20-5%20%26%202%20%26%204%20%26%200%20%26%20-3%20%26%201%20%5C%5C%20%5Chline%20-8%20%26%20-6%20%26%203%20%26%201%20%26%207%20%26%20-4%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
，也可写成
分块矩阵
的形状，它的元素是分块（子矩阵）
加法与标量乘法
若矩阵
与
有相同维数且以相同方式分块，则自然有矩阵的和
也以同样方式分块。这时的每一个分块恰好是和对应分块的（矩阵）和。分块矩阵乘以一个标量也可以逐块计算。
分块矩阵的乘法
设![\boldsymbol{A} = \left[\begin{array}{ccc|cc} 2 & -3 & 1 & 0 & -4 \\ 1 & 5 & -2 & 3 & 1 \\ \hline 0 & -4 & -2 & 7 & -1 \end{array}\right]=\begin{bmatrix}\boldsymbol{A_1\!_1} & \boldsymbol{A_1\!_2} \\ \boldsymbol{A_2\!_1} & \boldsymbol{A_2\!_2}\end{bmatrix}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7BA%7D%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Ccc%7D%202%20%26%20-3%20%26%201%20%26%200%20%26%20-4%20%5C%5C%201%20%26%205%20%26%20-2%20%26%203%20%26%201%20%5C%5C%20%5Chline%200%20%26%20-4%20%26%20-2%20%26%207%20%26%20-1%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cboldsymbol%7BA_1%5C!_1%7D%20%26%20%5Cboldsymbol%7BA_1%5C!_2%7D%20%5C%5C%20%5Cboldsymbol%7BA_2%5C!_1%7D%20%26%20%5Cboldsymbol%7BA_2%5C!_2%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D)
，
的5列被分成3列一组和2列一组。的5行按同样方法分块---被分成3行一组和2行一组。我们称和的分块是与分块乘法相一致的。
的乘积可以被写成
设
和
。验证row_1(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%20%2B%20col_2(%5Cboldsymbol%7BA%7D)row_2(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%20%2B%20col_3(%5Cboldsymbol%7BA%7D)row_3(%5Cboldsymbol%7BB%7D))
。
row_1(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D-3%20%5C%5C%201%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Da%20%26%20b%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D-3a%20%26%20-3b%20%5C%5C%20a%20%26%20b%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5C%5C%20%26col_2(%5Cboldsymbol%7BA%7D)row_2(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%20%5C%5C%20-4%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Dc%20%26%20d%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Dc%20%26%20d%20%5C%5C%20-4c%20%26%20-4d%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5C%5C%20%26col_3(%5Cboldsymbol%7BA%7D)row_3(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D2%20%5C%5C%205%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7De%20%26%20f%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D2e%20%26%202f%20%5C%5C%205e%20%26%205f%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Cend%7Baligned%7D)
于是row_k(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D-3a%20%2B%20c%20%2B%202e%20%26%20-3b%20%2B%20d%20%2B%202f%20%5C%5C%20a%20-%204c%20%2B%205e%20%26%20b%20-%204d%20%2B%205f%5Cend%7Bbmatrix%7D)
这个矩阵恰好就是。
定理10（的列行展开）
若是
矩阵，是
矩阵，则%20%26%20%5Ccdots%20%26%20col_n(%5Cboldsymbol%7BA%7D)%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7Drow_1(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20row_n(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5C%5C%20%26%3Dcol_1(%5Cboldsymbol%7BA%7D)row_1(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%20%2B%20%5Ccdots%20%2B%20col_n(%5Cboldsymbol%7BA%7D)row_n(%5Cboldsymbol%7BB%7D)%5Cend%7Baligned%7D)
分块矩阵的逆
形如
的矩阵称为分块上三角矩阵。设
是
矩阵，
是
矩阵。求
的表达式。
解：用表示且把它分块，使得
。
则有：
因可逆，且所在行其余列全为
，可知必有q个主元位置，故
。
。
于是
。同理
.
最后
。
。
最终得：
分块对角矩阵是一个分块矩阵，除了主对角上各分块外，其余全是零分块。这样的一个矩阵是可逆的当且仅当主对角线上各分块都是可逆的。
