线性方程
我们知道，对于线性的微分方程组，通过求解系统的雅可比矩阵的特征值来判断零解的稳定性。
给定系统为：
首先将其表示为矩阵形式。线性化方程的雅可比矩阵 为：
接下来，求雅可比矩阵 的特征值。特征值
满足特征方程：
即：
展开行列式得到特征方程：
解得特征值为：
因为特征值包含零和纯虚数，可以看到该线性方程组的零解是稳定的。
非线性微分方程：线性近似法
对于给定的微分方程组：
我们可以通过线性化方法来判断零解的稳定性。
1. 求雅可比矩阵
首先，计算雅可比矩阵 ：
在零点 处，方程右边的非线性项可以忽略，因此得到的雅可比矩阵为：
2. 计算特征值
特征值 满足特征方程：
解得特征值后，我们可以判断零解的稳定性。若所有特征值的实部均为负，则零解是渐近稳定的；若存在正实部的特征值，则零解不稳定。
进一步计算得到特征方程为
我们利用高中阶段学过的零点的存在性定理：
不妨假设
有
因为函数的连续性，可以必定存在使得
这意味着雅可比矩阵有正的特征值，零解是不稳定的。
