2024-10-24

1.无穷大的比较：等价无穷大和高阶无穷大

若 $f,g$ 均为无穷大，
且 $\frac{f}{g}\rightarrow 1$
则称 $f,g$ 是等价的无穷大，
记作 $f\sim g$
等价无穷大代表“一样大的无穷大”，或“增速一样快的无穷大”

求极限时，等价无穷大可以直接替换因子。

若 $f,g$ 都是无穷大，
$\frac{f}{g}\rightarrow \infty$
这说明 $f$ 增速比 $g$ 快，
此时称 $f$ 是 $g$ 的高阶无穷大。

若干个无穷大相加，增速最快的一项称之为主项。若干个无穷大相加，它的大小只取决于其中最快的那一项，其余较慢的项影响可以忽略。

有速度排序：
$\ln x<<x^b<<a^x(其中a>1,b>0)$

例：
计算
$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{4e^x+3x+5x^2+2\ln x}{2e^x+100x^5+200\ln x}$

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{4e^x+3x+5x^2+2\ln x}{100x^5+200\ln x}$

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3x+5x^2+2\ln x}{100x^5+200\ln x}$

2.无穷小的比较

若 $f,g$ 都是无穷小
若 $\frac{f}{g}\rightarrow 1$
称 $f,g$ 是等价无穷小
记作 $f\sim g$

常用的等价无穷小：
$x\sim \sin x\sim \tan x$
$x\sim e^x -1$
$x\sim \ln(x+1)$
$1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2$
$\sqrt{1+x}-1\sim \frac{1}{2}x$

最后编辑于：2024.10.24 14:24:18

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