数列极限的ε-N定义

公式显示不完整的可以查看电脑版。
这次是赶任务，而且电脑出问题了....明天重新码...

数列极限的ε-N定义

设是一给定数列
1. 常数 $a$ 称为数列 ${a_n}$ 的极限，如果对于任意给定的 $\varepsilon>0$ .都存在自然数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，成立 $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ 此时也称数列 ${a_n}$ 收敛于 $a$ .记为 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$
2. 数列 ${a_n}$ 称为收敛的,如果存在常数 $a$ ,使数列 ${a_n}$ 收敛于 $a$ ,否则称该数列发散.

用逻辑符号来表示数列 ${a_n}$ 收敛于 $a$ 即为 $\forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n>N:\left|a_{n} - a\right|<\varepsilon$

注:
数轴上以 $a$ 为中心、长为 $2\varepsilon$ 的小区间 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ ，称为 $a$ 的 $\varepsilon$ 邻域记为 $U(a,\varepsilon)$ ， $\varepsilon$ 称为该邻域的半径，如果不计其半径，可简称为 $a$ 的邻域，记为 $U(a)$ . $a$ 的 $\varepsilon$ 邻域可以用来刻画与 $a$ 接近的程度.事实上, $a_n$ 满足上面1中的不等式等价于 $a_n \in U(a,\varepsilon)$ ,即 $a_n$ 在 $a$ 的 $\varepsilon$ 邻域内.
于是，数列 ${a_n}$ 收敛于 $a$ 的充分必要条件是对 $a$ 的任意的邻域 $U(a)$ ，落在该邻域外的an至多有有限多个.

$\color{red}{\textbf{定理1}}$

收敛数列的极限必是唯一的

证明:假设 ${x_n}$ 有极限 $a$ 与 $b$ ，根据极限的定义 $\forall \varepsilon>0$
$\begin{array}{l} \exists N_{1}, \forall n>N_{1}:\left|x_{n}-a\right|<\frac{\varepsilon}{2} \\ \exists N_{2}, \forall n>N_{2}:\left|x_{n}-b\right|<\frac{\varepsilon}{2} \end{array}$
取 $N=\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\}$ ，则当 $n>N$ 时上述两不等式均成立，于是由三角不等式有 $\begin{aligned} |a-b| &=\left|a-x_{n}+x_{n}-b\right| \\ & \leqslant\left|x_{n}-a\right|+\left|x_{n}-b\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{aligned}$
由 $\varepsilon$ 的任意性知 $a=b$ .

$\color{red}{\textbf{定理2}}$

收敛数列必有界

证明:设数列 ${a_n}$ 收敛于 $a$ ,由极限的定义，对 $\varepsilon=1, \exists N, \forall n>N:\left|x_{n}-a\right|<1$ ,即 $a-1<x_n<a+1$ 取 $M=\max \left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}, a+1\right\}, m=\min \left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}, a-1\right\}$ ，则对 ${x_n}$ 所有项都满足 $m \leqslant x_{n} \leqslant M .$ 因此 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界.

注:该定理的逆命题不成立，即有界数列未必收敛.例如， $\left\{(-1)^{n}\right\}$

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