经过前边的准备，BSM模型证明过程中用到的重要公式，已基本都提到，可以进入推导了。为便于理解，曲曲菜尽量加解释，尽量不跳跃。有之前文章知识的引用，也都说明了具体位置。
为减少概念并简化数学符号，推导过程分为了两个部分。其实也可以说第一部分是推导，第二部分只是个实例化。
第一部分：推导出了E[max(V-K,0)]的表达式，并没有结合期权的场景。
假设股票未来某一时刻T的价格为V。定义g(V)是V的概率密度函数，则E[max(V-K,0)]=
（1式）。
由于lnV服从正态分布，标准差为ω，均值为m。根据
曲曲菜：【BSM模型】股票价格对数正态分布的性质，lnE(ST)和E(lnST)的关系
最后一段可知，m=E(lnV)=lnE(v)-
。
下面我们定义一个新的变量:Q=(lnV-m)/ω。因为lnV服从正态分布，ω和m均为常数，所以Q也服从正态分布。E(Q)=E((lnV-m)/ω)=(E(lnV)-m)/ω=0。lnV标准差为ω，所以lnV/ω标准差为1，故Q标准差为1。可得Q服从标准正态分布。因此，Q的概率密度函数h(Q)=
。
将1式关于V的积分转换为关于Q的积分，我们得出：E[max(V-K,0)]=
。减数被减数分开积分得：
（2式）。
将h(Q)的值代入
，经化简可得，
=
。由于
正好是Q-ω的概率密度函数h(Q-ω)，所以
=
。将2式变为：
，可继续变换为
（3式）。
定义N(x)为标准正态分布的变量小于x的累积分布函数。则3式变换为：
。由于1-N(x)=N(-x)，所以可继续变换为：
。将m=lnE(v)-
代入上式后，化简得：
。
令d1=
，d2=
，可得：E[max(V-K,0)]=
。将m=lnE(v)-
代入得E[max(V-K,0)]=
。
第二部分：结合期权场景，推导出期权定价公式
现在有一个标的股票不支付股息的欧式看涨期权，如下：
到期时间：T，
股票当前价格：S0，
股票价格波动率：σ，
股票T时刻价格：ST，
无风险利率：r。
现在我们可以写出期权价格：c=
（4式），
其中
为风险中性世界的期望值（风险中性世界的期望值，比现实世界低，因为没有考虑风险溢价）。
由于假设ST服从对数正态分布，根据
曲曲菜：【BSM模型】股票价格对数正态分布的性质，lnE(ST)和E(lnST)的关系
的2,我们知道lnST的标准差为
。在风险中性世界，股票的期望收益率都为r，结合
曲曲菜：【BSM模型】股票价格对数正态分布的性质，lnE(ST)和E(lnST)的关系
的4，我们可得
。
根据第一部分的结论，我们就可以将4式写成：
c =
，或者
c =
其中
d1 =
=
d2 =
=
。
至此，完成了对BSM模型的推导。
总结
可以看出，推导过程主要分为：写出期权价格的初始表达式，将表达式转换为积分式，对积分式进行变换，推出期权价格的最终表达式。
（Black-Scholes模型的推导，不仅是这一种方式，还可以通过解微分方程来推导。）
参考资料
[1] 约翰 赫尔.期权、期货及其他衍生品
[2] John Hull.Technical Note 2 Properties of Lognormal Distribution
本文作者：曲曲菜（微信公众号：曲曲菜）
知乎专栏：AI和金融模型
原创作品，未标明作者不得转载。首发于微信公众号：曲曲菜。
原文地址：
【BSM模型】Black-Scholes期权定价模型的推导
