这个问题回答起来要分时期了，因为爱因斯坦换过好几次工作。

听上去最 Low 的工作，就是在伯尔尼专利局的那段日子，试用期2年，转正之后是最低级别的三级技术员，后来慢慢升到二级，一级。在那7年里，他和谁一起上下班不太重要，大概也就是专利局的同事们。后来在大学任教和科学院任职时，和谁一起上下班也不重要。

爱因斯坦的忘年交

最重要的，是他晚年的时候在普林斯顿高等研究院那段时间，爱因斯坦每天晚上都和哥德尔一起下班。

这就引出了咱们这一系列的概念了，数学和计算。

爱因斯坦和哥德尔

纳粹对犹太人在政策上走向迫害，大约就是从第三帝国建立的时候，1933年。爱因斯坦是很敏感的，他发现政府规定犹太人不能担任公职，不能在广播、影视、教育界工作，马上就去了美国。

他去普林斯顿高等研究院算比较早的，所以后续吸引了大批逃难的犹太科学家。其中有一位年轻人，是在爱因斯坦到高等研究院的5年后到的，这个人就是哥德尔。

他和爱因斯坦相差27岁，基本就是一代人的差距，最初他们在工作中没有什么交集，大约是从哥德尔入职后4年，突然就有人发现两个人天天下班一起散步回家，这对忘年交一发不可收拾，下班一起散步回家的习惯一直延续到爱因斯坦去世，持续了13年之久。

甚至其中有一段时间，他们每天散步聊天的时间，占据工作时间的三分之一以上，两个人散步的背影曾是高等研究院的一道风景。

散步中的哥德尔和爱因斯坦

其实到现在都没人知道到底是什么原因，两个人这么爱在一起待着，蛛丝马迹里只有一件事是爱因斯坦回忆录里写到的，就是有一天哥德尔突然想去看迪斯尼动画，于是给爱因斯坦打电话，希望能一起去，其实爱因斯坦不太喜欢动画片，但还是陪哥德尔去了。大约就是从那次看电影之后，两个人就天天一起下班了。

之所以没人知道这对忘年交的起因，除了爱因斯坦不说，也因为哥德尔守口如瓶。

不普通的哥德尔

哥德尔是捷克人，数学家、逻辑学家和哲学家。他做人做事的风格，是非常典型的大众眼中的怪咖数学家，体弱多病、疑心重重、神经质、抑郁症、总是担心随时有危险发生、讨厌旅行、害怕和人接触、能打电话绝不见面、能不打电话的绝不打电话。

咱们就举2个例子：

第一个是他6岁的时候，在练习本上做计算题，那个数字写的，工工整整的，但是你仔细看，3+1=4，算了3遍，2+1=3算了7遍，3-1=2算了7遍，4-1=多少，第一遍算成4了，错了，划掉，然后又工工整整重复算了2遍。

哥德尔做的计算题

你仔细想想，4以内的加减法，就算是6岁的孩子，也是非常简单的，有什么好思考的呢？所以这个小孩儿一定不普通。

第二个例子是他40多岁的时候，哥德尔宣誓成为美国公民，他请爱因斯坦跟他一起去法院做见证人，但是路上哥德尔突然跟爱因斯坦提起，说美国宪法里有一处逻辑硬伤。

爱因斯坦一听，心想这可不好，赶紧一路上连八卦新闻带冷笑话地讲个不停，就是希望给小兄弟哥德尔分分心，但也没有奏效，结果当哥德尔面对大法官的时候，他还是开始喋喋不休地分析起来，幸好他的逻辑证明过程非常复杂，法官听完没反应过来，若有所思地点点头，然后就按流程把宣誓做了，哥德尔顺利成了美国公民。

数学的世界

而爱因斯坦和哥德尔最高的契合点是在思想上，而不是观点上，更不是在年龄、相貌、财富这些方面。

计算机之父冯·诺依曼曾经这么评论（冯·诺依曼是高等研究院里最早的6个教授之一），他说：“在哥德尔还不是教授的时候，我们这些人中怎么可能有人配称为教授呢？”

我们在诺贝尔系列里说到过，对数学价值理解深刻的人，他们的精神世界是普通人难以理解的。但我希望你听完这个系列，能多少有点理解。能达到的效果是，当你再看到类似哥德尔这种奇异的事件的时候，不觉得他是一个科学怪咖，而更能认识到他是一个人类思想上的伟人。

首先我们要明确一点，数学和其他科学有本质的不同，其他科学门类，有一个基础到了极致的，以至于很晚才被科学家注意到的事实，就是科学里的定律也好，定理也好，它是依赖于人的参与的，没有人的观测参与，这些定理和定律是不存在的。

但是数学不同，不管有没有人，有没有宇宙，甚至有没有时间。平面上距离一点等长的所有点的集合是一个圆，这个圆的周长和直径比是 π，这个事实是不会改变的。

所以数学世界是存在于思维和逻辑中的，它当然可以对应到现实世界，比如纸上画一个圆，周长和直径比就是 π，但那是我们人类的幸运，我们找到了一个现实中的东西正好可以对应到逻辑中数学里的一个原理上。

但更多的情况是，当我们深入到数学的中心之后，我们也能发现很多人类不够幸运的地方，因为很多数学结构在现实中没有对应。

有的时候，这种貌似没有对应，只不过是因为人类能力不足，智商有限，无法意识到两者之间存在对应关系。

但也有的时候，是真的压根就没有对应。

所以你如果对数学有深入了解，你凭借思维展开的世界远远超过一般人，哪怕是那些去过150个国家地区，哪怕他们经历了风风雨雨，也无法和思维中的那个世界相比。

哥德尔的贡献

哥德尔在数学上思考的是什么呢？

如果查一下百科，那就是他证明了“不完备性定理”。

这定理念出来估计没什么人能听懂，如果用最粗糙的语言来描述就是：

现在我们研究的，带有计算过程的数学体系里，有很少一部分是作为约定俗成的不需要证明的公理，比如加减乘除都是怎么定义的。也有很多是从公理推导出来的，叫定理，它们可以被证明，比如 A+B=X，C+D=X，那么 A+B=C+D，这就是定理。定理可以很简单，也可以非常复杂，像费马大定理，庞加莱定理，都证明了100多年。

数学家们又从简单的定理继续推导其他的次一级的复杂定理。

但是哥德尔证明了一件事：

就是算术系统中，通过定理继续推导其他定理的过程中，这样一步步推进，有可能会掉沟里去。就是说，可能某一天，有个数学家推导出一个结论，这个推导过程没有出现错误，可是结论是无法用这个体系内的知识来判断它是不是正确的。如果继续从这个无法判断真伪的结论继续推导其他的东西，推导出来的也都是不可分辨对错的。

当然，在逻辑上哥德尔还证明了有另一种可能性，就是如果你一定要求这个系统内的全部结论，全都可以通过系统内部的东西来判断结论的正确性，那你就要向另外一头妥协了，就是这个系统内必须存在相互矛盾的结论。

以上大概就是哥德尔不完备性定理的最最通俗的理解。

而我刚刚说的另一头的妥协，数学家们不是没考虑过，大约在哥德尔出生前30年，另一位最终也成为严重精神分裂症患者的数学家，叫康托，他第一个奋身一跃，跳进了大坑里，着手处理数学体系中会不会存在某些结论是互相矛盾的这个问题。后来相继跳入大坑的重要数学家还有希尔伯特和罗素。但好在那一次数学大厦在濒临倒塌时，被这几位奋不顾身的人力挽狂澜拯救了回来，这件事儿发生在哥德尔出生前5年。

但哥德尔这个结论一出，又把数学推到了悬崖边缘。这个危险就是，数学家们不敢肯定，有些困扰了数学界几十年，或者上百年的猜想，有可能就是属于这类自身体系无法证明的问题。

数学家是智力活动的顶级运动员，他们很容易被难到证明不出来的问题吸引，那假如很多至今没被证明出的问题，就是系统内部无法判定的，那这些数学家宝贵的智力和生命就白白浪费掉了，他们相当于被吸入了精神世界的黑洞中。

这个问题后来怎么发展了呢？

我们有机会说布尔巴基学派的时候再详细展开，这也是一个不可思议的团体。