对称矩阵性质

说明 如无特别说明都是实对称矩阵

定理 对称矩阵的特征值为实数

证明 设复数

为对称矩阵A的特征值，复向量x为对应的特征向量，即

因为x不同于0，所以

定理的意义 由于对称矩阵A的特征值

为实数，所以齐次线性方程组

是实系数方程组，由

知必有实的基础解析，从而对应的特征向量可以取实向量。

定理 设

是对称矩阵A的两个特征值,

是对应的特征向量，若

则

正交

证明

定理 设A为n阶对称矩阵，
是A的特征多项式的r重根，则

的秩

从而对应的特征值
恰有r个线性无关的特征向量

定理 设A为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵p,使

其中

是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。

证明 设A的互不相等的特征值为

它们的重数依次为

根据之前定理，对应特征值

恰有

个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得
个单位正交的特征向量，由

知，这样的特征向量共可得n个。
对应于不同特征值的特征向量正交，故这n个单位特征向量两两正交。以它们为列向量构成正交矩阵P,则

根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：
1、求A的特征值

2、由

求出A的特征向量
3、将特征向量正交化

4、将特征向量单位化

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