概率论（五）：大数定律及中心极限定理

大数定律

弱大数定理（辛钦大数定理）

设X_1,X_2,\dots,是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，E(X_k)=\mu(k=1,2,\dots)。前n个变量的算术平均\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_k，则对于任意\varepsilon >0,有\lim_{n\rightarrow \infty }\left \{\left | \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_{k}-\mu \right |<\varepsilon \right \}=1

设Y_1,Y_2,\dots,Y_n,\dots是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意整数\varepsilon,有\lim_{n\rightarrow \infty }P\left \{ \left | Y_n -a \right |<\varepsilon \right \}=1,则称序列Y_1,Y_2,\dots,Y_n,\dots依概率收敛于a，记作Y_n\rightarrow a

所有上述弱大数定理可以解释为序列\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_k依概率收敛于\mu,即\overline{X}\overset{p}{\rightarrow}\mu

伯努利大数定理

设f_A是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数\varepsilon >0,有\lim_{n\rightarrow \infty }P\left \{ \left | \frac{f_A}{n}-p \right | <\varepsilon \right \}=1

中心极限定理

独立同分布的中心极限定理

设随机变量X_1,X_2,\dots,是相互独立，服从同一分布且E(X_k)=\mu，D(X_k)=\sigma ^{2}>0(k=1,2,\dots)，则随机变量之和\sum_{k=1}^{n}X_k的标准化变量为Y_n = \frac{\sum_{k=1}^{n}X_k-E(\sum_{k=1}^{n}X_k)}{\sqrt{D(\sum_{k=1}^{n}X_k)}}=\frac{\sum_{k=1}^{n}X_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\sim N(0,1)

棣莫弗-拉普拉斯定理

设随机变量\eta _n(n=1,2,\dots)服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布，则对于任意x,有\lim_{n\rightarrow \infty }P\left \{ \frac{\eta _{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}} \leqslant x\right \}=\Phi (x)

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