第十二讲二重积分

这一讲主要有两个部分的内容：二重积分的概念、性质与对称性；以及二重积分的计算。

二重积分的概念、性质与对称性

二重积分的概念
二重积分与定积分的区别：定积分是对曲线 $f(x)$ 求积分，而二重积分是对曲面 $f(x,y)$ 求积分。
定积分计算的是曲线 $f(x)$ 与直线 $x = f(a), x = f(b)$ 与x轴围成的面积。
二重积分计算的是曲面 $f(x,y)$ 与其在平面 $xoy$ 上的投影面积围城的曲顶柱体的体积

定积分

二重积分

在上图中， $f(x,y)d\sigma$ 为，底面积 $d\sigma$ 与该点的函数值 $f(x,y)$ 的乘积，得到一个小的曲面柱体

固定一个 $x$ ，然后将不同的 $f(x,y)d\sigma$ 沿y轴方向进行累加后得到 $\int f(x,y)d\sigma$

最后再沿着 $x$ 轴方向将不同的 $\int f(x,y)d\sigma$ 进行累加就得到 $\iint f(x,y)d\sigma$ ，也就是整个曲面柱体的体积。
二重积分的性质

求区域面积：
$\iint_D 1\cdot d\sigma = \iint_D d\sigma = A$ ，其中A为D的面积
可积函数必有界：
当 $f(x,y)$ 在有界闭区域D上可积时，则 $f(x,y)$ 在D上必然有界
积分的线性性质： $\color{red}{(拆被积函数，重要等级一颗星)}$
设 $k_1,k_2$ 为常数，则
$\iint_D[k_1f(x,y) + k_2g(x,y)]d\sigma = k_1\iint_D f(x,y)d\sigma + k_2\iint_Df(x,y)d\sigma$
积分的可加性： $\color{red}{(拆积分区域，重要等级一颗星)}$
当 $f(x,y)$ 在有界闭区域D上可积时，且有 $D_1\cup D_2 = D,D_1\cap D_2=\emptyset$ ，则
$\iint_Df(x,y)d\sigma = \iint_{D_1}f(x,y)d\sigma + \iint_{D_2}f(x,y)d\sigma$
积分的保号性： $\color{red}{(重要等级一颗星)}$
当 $f(x,y),g(x,y)$ 在有界闭区域D上可积时，若在区域D上有 $f(x,y)\le g(x,y)$ ，则有
$\iint_Df(x,y)d\sigma \le \iint_Dg(x,y)d\sigma$
有这个性质可以推导出：
$|\iint_Df(x,y)d\sigma| \le \iint_D|f(x,y)|d\sigma$

二重积分的普通对称性和轮换对称性

普通对称性：假设积分区域D关于y轴对称，在x正半轴的区域面积为 $D_1$ ，则该二重积分 $I$ 有
如果在区域D上有 $f(x,y) = f(x,-y)$ ， $I=2\iint_{D_1}f(x,y)$
如果在区域D上有 $f(x,y) = -f(x,-y)$ ， $I=0$

例题： $\color{red}{(在积分区域上巧妙的做辅助线然后使用普通对称)}$
计算 $\iint_Dy(1+xe^{\frac{x^2+y^2}{2}})dxdy$ ，其中区域D由直线 $y=x$ , $y=-1$ 以及 $x=1$ 所围成
先利用二重积分的线性性质将被积函数拆成两个部分
$\iint_Dy(1+xe^{\frac{x^2+y^2}{2}})dxdy = \iint_D ydxdy + \iint_Dxye^{\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy$
再画出积分区域D，再做辅助线y = -x，则区域D被划分成4个区域，其中两个区域关于x轴对称，两个区域关于y轴对称

而对于函数 $f(x,y) = xye^{\frac{x^2+y^2}{2}}$ 有，
$f(x,y) = -f(x,-y)$ ， $f(x,y) = -f(-x,y)$
所以函数 $xye^{\frac{x^2+y^2}{2}}$ 在该区域上的积分为零
故 $\iint_Dy(1+xe^{\frac{x^2+y^2}{2}})dxdy = \iint_Dydxdy$

轮换对称性：轮换对称性并不是实际意义上的对称，只是因为这个性质看上去像是对称的一样
对于二重积分 $\iint_Df(x,y)d\sigma$ ，如果把 $x$ 和 $y$ 对调之后，区域D不变(即区域D关于直线 $x=y$ 对称)，则有 $\iint_Df(x,y)d\sigma =\iint_Df(y,x)d\sigma$ ，这种现象就是所谓的轮换对称性
$\color{red}{轮换对称性看上去没什么用，因为使用轮换对称性得到的函数复杂性不会改变}$
$\color{red}{但是使用轮换对称性后得到的函数与原来的函数经过运算会得到相对简单的函数}$

例题
设区域 $D=\lbrace (x,y)|x^2+y^2\le 1,x\ge 0,y\ge 0 \rbrace$ ， $f(x)$ 在区域D上为正值连续函数，设a,b为常数，求 $I=\iint_D\frac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{f(x)+f(y)}d\sigma$
通过轮换对称性可得：
$I=\iint_D\frac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{f(x)+f(y)}d\sigma=\iint_D\frac{a\sqrt{f(y)}+b\sqrt{f(x)}}{f(x)+f(y)}d\sigma$
故 $2I=\iint_D\frac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{f(x)+f(y)}+\frac{a\sqrt{f(y)}+b\sqrt{f(x)}}{f(x)+f(y)}d\sigma$
$=\iint_D(a+b)d\sigma = (a+b)\frac{1}{4}\pi\cdot 1^2$
$I=\frac{a+b}{8}\pi$

二重积分的计算

二重积分的计算中有下面6种问题：
$\begin{cases}直角坐标系\\ 极坐标系\\ 极坐标系与在直角坐标系选择的一般原则\\ 极直互化\\ 积分次序\\ 用二重积分处理一元积分的问题\end{cases}$

直角坐标系
两种积分区域的类型：
X型区域：

X型积分区域

图示区域的二重积分的计算公式为 $I=\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy$
Y型区域：

Y型区域

图示区域的二重积分的计算公式为 $I=\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_c^ddy\int_{\sigma_1(y)}^{\sigma_2(y)}f(x,y)dx$

例题：计算 $\iint_Dy(1+xe^{\frac{x^2+y^2}{2}})dxdy$ ，其中平面区域D由直线 $y=x$ , $y=-1$ 以及 $x=1$ 所围成
在之前就已经计算过
$\iint_Dy(1+xe^{\frac{x^2+y^2}{2}})dxdy = \iint_Dydxdy$
并且此题中的积分区域既可以看成X型区域又可以堪称Y型区域
而具体的取舍看需要看函数的复杂性
这里将其看作Y型区域，则
$\iint_Dydxdy=\int_{-1}^1dy\int_y^1ydx=\int_{-1}^1(y-y^2)dy=-\frac{2}{3}$

极坐标系

极坐标系下的二重积分通常先对 $r$ 求积分，再对 $\theta$ 求积分

所以极坐标下的求积分公式为 $I=\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr$
极坐标系与直角坐标系选择的一般原则
一般来说，给定一个二重积分

先看被积函数是否为 $f(x^2+y^2),f(\frac{y}{x}),f(\frac{x}{y})$ 等形式
再看积分区域是否为圆或者圆的一部分

如果两者兼是(主要看条件1)，那么优先选择用极坐标系，否则，就优先使用直角坐标系（这里只是一个一般原则，只能提供一个大方向，具体还是视情况而定）

例题
设区域 $D=\lbrace(x,y)|x^2+y^2\le R^2 \rbrace$ ， $a,b>0$ ，计算 $\iint_D(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})dxdy$
因为积分区域是关于直线y=x对称的，所以可以使用轮换对称性得：
$I = \iint_D(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})dxdy = \iint_D(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2})dxdy$
$2I=\iint_D(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2})dxdy$
$= \iint_D(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})(x^2+y^2)dxdy$
$=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^R(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})r^3dr$
$=\frac{(a^2+b^2)R^4\pi}{2a^2b^2}$
$I=\frac{(a^2+b^2)R^4\pi}{4a^2b^2}$

极直互化
按照 $\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}$ 的规则即可完成互化

例题 $\color{red}{(典型例题)}$
计算 $I=\int_0^1dx\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{x+y}{x^2+y^2}dy$
由前面的直角坐标系二重积分的计算公式可知，该积分区域在直角坐标系中为X型区域，其左边界为 $x=0$ ，右边界为 $x=1$ ，下曲线为 $y=1-x$ ，上曲线为 $y=\sqrt{1-x^2}$
还原其积分区域：

将 $x=\cos\theta,y=\sin\theta$ 代入可得极坐标系的积分公式
$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta}}^1\frac{r(\cos\theta+\sin\theta)}{r^2}rdr$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{\frac{1}{\sin\theta+\cos\theta}}^1(\cos\theta+\sin\theta)dr$
$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos\theta+\sin\theta-1)d\theta$
$=2-\frac{\pi}{2}$

积分次序
因为在二重积分中会有积分的次序，变换积分的次序不会改变积分的值，但是，有时候先进行积分的函数求不出初等形式的原函数，这时候就需要变换积分次序在进行求解。

例题 $\color{red}{(典型例题)}$
计算 $\int_1^2dx\int_{\sqrt{x}}^x\sin\frac{\pi x}{2y}dy+\int_2^4dx\int_{\sqrt{x}}^2\sin\frac{\pi x}{2y}dy$
先还原其积分区域，两部分的二重积分对应于两个部分的积分区域

首先 $\sin\frac{\pi x}{2y}$ 是无法计算出其初等形式的原函数的，此外，这里的积分区域师很典型Y型区域，所以这里将积分次序改成Y型积分区域的积分次序
$\int_1^2dx\int_{\sqrt{x}}^x\sin\frac{\pi x}{2y}dy+\int_2^4dx\int_{\sqrt{x}}^2\sin\frac{\pi x}{2y}dy$
$=\int_1^2dy\int^{y^2}_y\sin\frac{\pi x}{2y}dx$
$=-\int_1^2\frac{2y}{\pi}\cos\frac{\pi y}{2}dy$
$=\frac{4(\pi+2)}{\pi^3}$

用二重积分处理一元积分的问题 $\color{red}{(重要等级三颗星)}$
先使用轮换对称性将一元积分变换成二重积分，再进行下一步求解，从而解除原一元积分的解

例题1
设 $f(x) = \int_x^1\sin(\pi u^2)du$ ，求 $\int_0^1f(x)dx$
原式：
$\int_0^1dx\int_x^1\sin(\pi u^2)du$
显然无法计算出 $\sin\pi u^2$ 的初等形式的原函数，所以和前面一样，要对其积分的次序做一个变化
还原其积分区域：

再改变其积分次序
$\int_0^1du\int_0^u\sin\pi u^2dx$
$=\int_0^1u\sin\pi u^2du$
$=\frac{1}{2\pi}\int_0^1\sin\pi u^2d(\pi u^2)$
$=\frac{1}{\pi}$

例题2 $\color{red}{(高斯曲线)}$
利用广义二重积分计算 $\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx$
$I=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\int_0^{+\infty}e^{-y^2}dy$
故
$I^2=\int_0^{+\infty}dx\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\cdot e^{-y^2}dy$
$=\int_0^{+\infty}dx\int_0^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dy$
该二重积分的积分区域是整个第一象限，所以将其化成极坐标系下的二重积分为：
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^{+\infty}e^{-r^2}rdr$
$=\frac{\pi}{4}$
$\therefore I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
此处省略负的结果，因为 $e^{-x^2}>0$ ，由积分的保号性可知 $I\gt 0$

第十二讲 二重积分

二重积分的概念、性质与对称性

二重积分的计算

第十二讲二重积分