矩阵分析学习笔记（四）-矩阵的分解

奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD)

定义：设 $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ ，半正定矩阵 $A^TA$ 的 $n$ 个特征值记为 $\lambda_i,i=1,\cdots,n$ 。显然 $\lambda_i\geq0$ 。称 $\lambda_i$ 的算数平方根 $\sigma_i=\sqrt{\lambda_i},i=1,\cdots,n$ 为矩阵 $A$ 的奇异值。

定理：设矩阵 $A\in \mathbb R^{m\times n}$ 的奇异值中有 $r$ 个不等于零，记为 $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_r>0$ ，它们构成的 $r$ 阶对角阵记为 $D=diag\lbrace\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_r\rbrace$ ，令 $m\times n$ 阶矩阵 $\Sigma$ 具有如下分块形式： $\Sigma=\left(\matrix{D&0\\0&0}\right)$ ，则存在正交阵 $U\in \mathbb{R}^{m\times m},V\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，使得 $A=U\Sigma V^T$ 。

例：求矩阵 $A=\begin{bmatrix}1&1\\1&-2\\2&1\end{bmatrix}$ 的奇异值分解。

解：先求 $A^TA=\begin{bmatrix}6&1\\1&6\end{bmatrix}$ ，其特征值为 $\lambda_1=7,\lambda_2=5$ ，故 $A$ 的奇异值为 $\sigma_1=\sqrt7,\sigma_2=\sqrt5,A^TA$ 的正交单位特征向量为 $\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\\-\frac{1}{\sqrt2}\end{bmatrix}$ ，

故 $D=\begin{bmatrix}\sqrt7&0\\0&\sqrt5\end{bmatrix},V=V^T=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2}&-\frac{1}{\sqrt2}\end{bmatrix}$ ，

$U_1=AV_1D^{-1}=\begin{bmatrix}1&1\\1&-2\\2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2}&-\frac{1}{\sqrt2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt7}&0\\0&\frac{1}{\sqrt5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt{14}}&0\\-\frac{1}{\sqrt{14}}&\frac{3}{\sqrt{10}}\\\frac{3}{\sqrt{14}}&\frac{1}{\sqrt{10}}\end{bmatrix}$ ，

解线性方程组 $\begin{cases}2x_1-x_2+3x_3=0\\3x_2+x_3=0\end{cases}$ 得通解为 $\mathbf x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}5\\1\\-3\end{bmatrix}$ ，取 $k=\frac{1}{\sqrt{35}}$ 得为单位 $\mathbf x$ 向量，

故 $U=\begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt{14}}&0&\frac{5}{\sqrt{35}}\\-\frac{1}{\sqrt{14}}&\frac{3}{\sqrt{10}}&\frac{1}{\sqrt{35}}\\\frac{3}{\sqrt{14}}&\frac{1}{\sqrt{10}}&-\frac{3}{\sqrt{35}}\end{bmatrix},\Sigma=\begin{bmatrix}\sqrt7&0\\0&\sqrt5\\0&0\end{bmatrix}$ ，此时 $U\Sigma V^T=A$ 。

广义特征值

设 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ 都是实对称阵，且 $B$ 是正定的，求 $\lambda$ 使方程 $A\lambda=\lambda Bx$ 有非零解 $\mathbf x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$ 。

注： $Ax=\lambda Bx$ 有非零解的充分必要条件是 $\mid A-\lambda B\mid=0$

故可称 $\mid A-\lambda B\mid=0$ 为 $A$ 相对于 $B$ 的特征方程，它的根 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 称为 $A$ 相对于 $B$ 的广义特征值，与 $\lambda_i$ 对应的非零解 $\mathbf x$ 称为对应于广义特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。

定理：设 $A$ 为实对称阵， $B=P^TP$ 为正定对称阵， $\mathbf y=P\mathbf x,S=(P^{-1})^TAP^{-1}$ ，则 $\mathbf x$ 是 $A$ 相对于 $B$ 的广义特征向量的充分必要条件为 $\mathbf y$ 是对称阵 $S$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量，即 $Ax=\lambda Bx\Leftrightarrow Sy=\lambda y$ 。

例： $A=\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}$ ，求 $A$ 相对于 $B$ 的广义特征值和广义特征向量。

解： $\mid A - \lambda B\mid=\begin{vmatrix}2-2\lambda & 1-\lambda \\ 1-\lambda & 3-\lambda \end{vmatrix}$ ，得广义特征值为 $\lambda_1=1,\lambda_2=5$ ，

当 $\lambda_1=1$ 时，求得 $p_1=(1,0)^T$ ，

当 $\lambda_2=5$ 时，求得 $p_2=(-1,2)^T$ 。

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 211,376评论 6赞 491
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 90,126评论 2赞 385
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 156,966评论 0赞 347
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 56,432评论 1赞 283
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 65,519评论 6赞 385
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 49,792评论 1赞 290
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 38,933评论 3赞 406
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 37,701评论 0赞 266
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 44,143评论 1赞 303
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 36,488评论 2赞 327
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 38,626评论 1赞 340
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 34,292评论 4赞 329
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 39,896评论 3赞 313
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 30,742评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,977评论 1赞 265
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 46,324评论 2赞 360
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 43,494评论 2赞 348

矩阵分析学习笔记（四）-矩阵的分解

奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD)

广义特征值

推荐阅读更多精彩内容