声明：本系列文章参考了《MATLAB 8.X实战指南（R2014a中文版）》（清华大学出版社，赵小川等编著），仅用于个人学习总结和交流，禁止作为商业用途转载或使用。
Matlab可以看成是一个功能强大的计算器，那么既然是计算器，进行基本的数学运算绝对是必不可少的。本文主要讲解如何用Matlab做初等数学运算，所谓“初等数学运算”，可以理解成是小学中学数学学习的那些运算，包括如下这些：四则运算、指数、对数、幂运算、三角函数、多项式运算等。
加减乘除四则运算
四则运算就非常简单了，下面用一个简单示例来看一下：
?result = (1+2) * 3 / 9
result =
1
?a = 1 + 2i; % a是一个复数
?b = 3 - 4j; % b也是一个复数
?a + b
ans =
4.0000 - 2.0000i
?sin(pi/2) % pi表示圆周率
ans =
1
幂、指数、对数运算
示例如下：
?a = 2 ^ 3
a =
8
?b = 25 ^ (1/2)
b =
5
?r = exp(1) % exp(x)表示求自然对数的底e的x次方
r =
2.7183
?log(exp(1)) % log(x)表示求x的以e为底的对数
ans =
1
?log10(100) % log10(x)表示求x的以10为底的对数
ans =
2
?array = [1,2,3];
?array ^ 2 % 求数组的指数，如果用普通的指数运算符"^"会报错
??? Error using ==> ^
Matrix must be square.
?array .^ 2 % 对数组或矩阵求指数，要使用".^"运算符，运算结果是对数组或矩阵的每一个元素都求指数
ans =
1 4 9
其中要注意的是：
- 对数组或矩阵求指数，要使用
.^运算符，运算结果是对数组或矩阵的每一个元素都求指数。注：乘法、除法也是类似的道理，数组或矩阵的乘法和除法要使用：.*和./。 - log(x)其实相当于ln(x)，而log10(x)才相当于求x的以10为底的对数。
三角函数运算（包括反三角函数）
举例如下：
?sin(pi/3)
ans =
0.8660
?cos(pi)
ans =
-1
?asin(pi) % 求pi的反正弦函数值
ans =
1.5708 + 1.8115i
多项式运算
Matlab处理多项式也是非常强大，那么什么是多项式呢？其实我们初中的时候都学过，多项式合并同类项、多项式因式分解等等，这些名词是不是都很熟悉？类似于下面这些的由多个式子组成的式子就是多项式：
xx + 11.22x^2 + x -83x^3 + 5x^2 - 1x^8 + 12x + 1
一个多项式的次数就是这个多项式中x的最高次数，比如x + 1就是一个一次多项式，而3x^3 + 5x^2 - 1就是一个三次多项式。
多项式的表示
要处理多项式，那么首先需要有一种方法来表示多项式，在Matlab中是用行向量来表示一个多项式的，行向量的每个元素是原多项式中根据x的次数降序排列后的x的系数。
比如p(x) = 3x^3 + 5x^2 - 1这个多项式就可以表示为下面这样一个行向量：
[3,5,0,-1]
这里第三项为0，是因为多项式p(x)的一次项为0。
可以看出，一个n次多项式表示成行向量后，是一个长度为n+1的行向量。
多项式求值
知道一个多项式的表达式后，就可以把它表示成Matlab行向量，那么如果还知道x的值，怎么求这个多项式的值呢？答案是使用polyval函数，用法如下：
polyval(p,s)
% 其中p为多项式的系数行向量，s为给定的x的值（可以是数值也可以是矩阵）
下面举个例子来求多项式p(x) = x^3 + 2x^2 + 1在x = 2、x = [3,4,5]和x = [1,2;3,4]时候的值：
?p = [1,2,0,1];
?x1 = 2;
?x2 = [3,4,5];
?disp(polyval(p,x1));
17
?disp(polyval(p,x2));
46 97 176
?x3 = [1,2;3,4];
?disp(polyval(p,x3));
4 17
46 97
可以看出x的值如果是一个矩阵的话，将会逐个算出x矩阵中每个元素代入多项式后求出的值。
多项式加减法
不同的多项式之间可以进行加减运算，这也就是我们在初中时候学过的多项式合并同类项。要注意的是，在Matlab中进行加减运算的多项式的行向量必须是长度相同的，如果不同，长度较短的行向量的高次项系数要用0补齐。
举个栗子，来算一下x^3 + 2x - 1和x + 1两个多项式的和：
?p1 = [1,0,2,-1];
?p2 = [1,1]; % p2的长度比p1小，所以高次项系数要补0
?p2 = [0,0,1,1];
?disp(p1 + p2)
1 0 3 0
所以x^3 + 2x - 1和x + 1两个多项式的和为：x3 + 3x
多项式乘除法
不同的多项式之间除了可以进行加减法运算，还可以进行乘除法运算。
- 多项式乘法用
conv函数：
p = conv(p1,p2)
% 其中p1、p2分别为两个多项式，p是p1和p2的乘积多项式。
举个栗子：
?p1 = [1,0]; % 表示多项式：x
?p2 = [1,1]; % 表示多项式：x + 1
?p3 = [1,20]; % 表示多项式：x + 20
?a1 = conv(p1,p2); % 求多项式：x(x+1)
?disp(a1)
1 1 0
?a2 = conv(a1,p3); % 求多项式：x(x+1)(x+20)
?disp(a2)
1 21 20 0
- 多项式除法用
deconv函数：
[q,r] = deconv(p1,p2)
% 因为两个多项式相除的结果不一定能除尽，所以可能会有余子式，这里的q就是多项式p1和p2的商的多项式，而r就是除不尽时候的余子式。
举个栗子：
?p1 = [1,0,-3]; % 表示多项式：x^2 - 3，即：(x+1)(x-1) - 2
?p2 = [1,1]; % 表示多项式：x + 1
?[q,r] = deconv(p1,p2);
?disp(q) % 结果为：x - 1
1 -1
?disp(r) % 余子式为：-2
0 0 -2
多项式求根
一个多项式的根就是该多项式的函数图像和x轴的交点的x的值，也就是当多项式的值为0时x的取值，可以想象的是，一个多次多项式的根可能不止一个，也可能有复数根，比如：x^2 + 1的根就是两个复数：i 和 -i
求多项式的根用roots函数来实现：
r = roots(p)
% r是一个列向量，代表多项式p的根集合，根有可能是复数
那么反过来，如果已知一个多项式的根向量，能不能求出这个多项式呢？答案是可以的，用poly函数即可：
p = poly(r)
% 其中r为多项式的根向量（列向量），p为多项式的系数行向量
下面举个栗子来说明以上两个函数的用法：
?p = [1,0,2,-1]; % 表示多项式：x^3 + 2x - 1
?r = roots(p) % 求根
r =
-0.2267 + 1.4677i
-0.2267 - 1.4677i
0.4534
?pp = poly(r) % 根据根列向量求多项式的系数行向量
pp =
1.0000 0.0000 2.0000 -1.0000
多项式求导
多项式求导有三个函数可以使用，功能十分之强大：
p = polyder(p1) % 求多项式p1的导函数
p = polyder(p1,p2) % 求多项式p1和p2的乘积多项式的导函数
[p,q] = polyder(p1,p2) % 求多项式p1和p2的商的导函数，p和q分别为导函数的分子和分母
举个栗子来说明：
对分式：
求导：
?p1 = [1,-1]; % 表示多项式：x - 1
?p2 = [1,-1,3]; % 表示多项式：x^2 - x + 3
?[p,q] = polyder(p1,p2); % 对p1/p2求导
?p
p =
-1 2 2
?q
q =
1 -2 7 -6 9
求导结果表明，原分式函数的导函数为：
求多项式的部分分式展开
在实际应用中，比如傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换都会出现对多项式分式进行展开的场景，那么Matlab也是支持对多项式进行展开运算的，使用residue函数，语法如下：
[r,p,k] = residue(b,a)
% 其中b和a分别为原多项式的分子、分母多项式系数行向量，r是一个行向量，表示部分分式展开的常数项；p为行向量，表示分母的极点；k为余数项系数行向量。
举个栗子：
对如下分式f(x)进行部分分式展开：
?p1 = [100,200]; % 分子多项式
?p2 = [1,21,20,0]; % 分母多项式
?[r,p,k] = residue(p1,p2)
r =
-4.7368
-5.2632
10.0000
p =
-20
-1
0
k =
[]
结果表明，部分分式展开式为：
