Feynman规则

QED的Feynman规则

我们首先整理电子、正电子的相关内容如表。

粒子	电子	正电子
波函数	$\psi(x)=ae^{-(i/\hbar)p\cdot x}u^{(s)}(p)$	$\psi(x)=ae^{(i/\hbar)p\cdot x}v^{(s)}(p)$
旋量	$(p\!\!\!/-mc)u=0$	$(p\!\!\!/+mc)v=0$
伴随旋量	$\overline{u}(p\!\!\!/-mc)=0$	$\overline{v}(p\!\!\!/+mc)=0$
正交性	$\overline{u}^{(1)} u^{(2)}=0$	$\overline{v}^{(1)}v^{(2)}=0$
归一化	$\overline{u}u=2mc$	$\overline{v}v=-2mc$
完备性	$\sum_{s=1,2}u^{(s)}\overline{u}^{(s)}=(p\!\!\!/-mc)$	$\sum_{s=1,2}v^{(s)}\overline{v}^{(s)}=(p\!\!\!/+mc)$

对于光子整理如表。

波函数	$A_\mu(x)=ae^{-(i/\hbar)p\cdot x}\epsilon^{(s)}_\mu$	完备性	$\sum_{s=1,2}\epsilon^{(s)}_i\epsilon^{(s)*}_j=\delta_{ij}-\hat{p}_i\hat{p}_j$
正交性	$\epsilon^{(1)*}_\mu\epsilon^{(2)}_\mu=0$	归一化	$\epsilon^{\mu*}\epsilon_\mu=-1$
Lorentz条件	$p^\mu \epsilon_\mu=0$	Coulomb规范	$\epsilon^0=0,\ \boldsymbol{\epsilon}\cdot\boldsymbol{p}=\boldsymbol{0}$

接下来列出Feynman规则。

1.标记：对于每一条外线标记四动量 $p_i$ ，用箭头表示沿着时间的正方向；每一条内线用四动量 $q_j$ ，并且用箭头表示正方向。

2.外线：每一根外线有一个因子如表。

	入射	出射
电子	$u$	$\overline{u}$
正电子	$\overline{v}$	$v$
光子	$\epsilon_\mu$	$\epsilon^*_\mu$

3.顶点因子：对于每一个顶点有一个因子 $ig_e\gamma^\mu$ ，其中 $g_e=\sqrt{4\pi\alpha}=e\sqrt{4\pi/\hbar c}$ 。

4.传播子：每一个内线贡献一个因子，如表。

传播子	因子
电子和正电子	$\frac{i(q\!\!\!/+mc)}{q^2 - m^2 c^2}$
光子	$\frac{-i g_{\mu\nu}}{q^2}$

5.能量与动量守恒：对每一个顶点，有一个Delta函数： $(2\pi)^4\delta^4(k_1+k_2+k_3)$ 。其中 $k$ 是与这个顶点相联系的带有方向的四动量。

6.对内线动量进行积分：对于每一个内线动量 $q$ ，写下因子 $\frac{\mathrm{d}^4q}{(2\pi)^4}$ 并积分。

7.消去Delta函数：对最终结果消去因子 $(2\pi)^4\delta^4(p_1+p_2+\cdots-p_n)$ ，消去并乘以因子 $i$ ，最终得到 $\mathcal{M}$ 。

8.反对称性：对于交换两个费米子的Feynman图的振幅，加上一个减号。

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