高阶方程
1734年丹尼尔伯努利给欧拉写信称自己解决了一端固定在墙上，另一端自由的弹性横梁（一维的钢丝或木头）的横向位移问题，他得到了四阶微分方程(其中K为常数，x是横梁距自由端的距离，y是在x点的垂直位移)，欧拉当时回信称自己也发现了这个公式，但无法积分，只能得到四个独立的级数解。四年后欧拉给约翰伯努利写信称他的解可以表示为三角函数和双曲函数。同年他在另一封给约翰伯努利的信中说自己自研究弹性问题后思考如何求解常系数线性一般方程，已经取得了成果。他考虑了齐次线性方程（与y和y的微商无关的项等于0），替换后得到特征方程，他讨论了当特征方程只有一个实根、有重根、有共轭复根和复重根时的方程解，完整地解决了常系数线性齐次方程。 之后他讨论了非齐次的n阶线性常微分方程，使用指数函数降阶求解。
拉格朗日在研究常系数常微分方程后，还研究了变系数常微分方程，他得到了比原方程低一阶的常微分方程（1873年富克斯将其命名为伴随方程），拉格朗日再对伴随方程降阶，发现非齐次常微分方程的伴随方程的伴随方程是原方程对应的齐次方程（即与y和y的微商无关的项变成0）。欧拉看到过拉格朗日的工作，但后来忘了，1778年又搞了一遍类似工作。
拉格朗日把欧拉对常系数线性微分方程的结果推广到变系数常微分方程，他发现齐次方程的通解是由一些特解乘以任意常数后相加的，知道n阶齐次方程的m个特解后可以把方程降低m阶。
级数法
牛顿不仅用级数做积分，也用级数求解一阶微分方程，得到的解含不定常数项和基于不定常数项的一系列系数（即有无穷多解）。莱布尼茨用无穷级数解某些初等微分方程也用了未定系数法。
1750年后欧拉用级数求那些不能以紧凑形式积分的微分方程，虽然他当时求的是特殊微分方程，但方法是我们沿用至今的方法。他假定解的形式为把y和y的微商代入微分方程，利用所得级数中x的各次幂系数必须为0的条件求出λ和A、B、C等。他在研究振动薄膜时求解Bessel方程，证明对于半奇整数的β（半奇整数应该就是半奇数1/2,3/2,5/2……），相应级数化为初始函数；且注意到对实的β，u(r)有无穷多个零点，并给出了u(r)的积分表示；对于β=0和β=1他给出了微分方程第二个线性独立的级数解。
欧拉还研究了超几何方程
并给出了级数解，“超几何”一词是与高斯亦师亦友的Pfaff(1765-1825)所提出的，超几何级数中的y现在用记号F(a,b,c;z)表示，对公式做欧拉变换得到
将超几何级数与Γ函数（前文说的n!推广到实数、复数域的函数）相联系，有：
