这个周为了给孩子们梳理数学的学习方法,看了几本书。
《创造性思维:人工智能之父马文. 明斯基论教育》、《一个数学家的叹息》、《从一到无穷大》。都没有完全看完,下个周会继续。特别推荐《从一到无穷大》。
为什么总有孩子觉得数学难学?
或许是因为我们通常从练习“算术”的技巧开始学习的缘故。在学习算术的过程中,我们专注于避免各种错误,而非开发创造力。我也怀疑,这种对于避免错误的强调,会导致许多孩子不仅不喜欢算术,还会在未来抗拒一切带有技术性质的事物,甚至可能造成对于符号化表示的长期性厌恶。
学科认知地图的必要性
一直到20世纪,数学学科主要由算术、几何、代数和微积分构成(见图1-1)。之后,逻辑学和拓扑学开始快速发展。20世纪50年代,我们迎来了信息和计算机科学思潮的大爆发。如今,信息和计算机科学领域的新概念已经发挥强大的作用,与之相比,我们的数学课程几乎落后了一个世纪。因此,我们十分有必要探寻一些方法,来将这些新科学思想传授给年幼的孩子。
几何:把一个立方体的表面涂上6种颜色,一共有多少种不同的方法?你能想出方法,把一个立方体分成3个完全相同的五面体(见图1-2)吗?我们知道手套分左手和右手两种形式,但为什么只有这两种形式呢?虽然我们生活在三维的世界里,但是掌握三维空间思考方法的人却寥寥可数,三维空间感弱是否应该视为一种障碍?
统计学:在日常生活的应用方面,很少有其他数学学科能与统计学相匹敌。影响是怎么累积的?什么样的知识和经验能辅助孩子更好地归纳?如何评估证据?相关关系和因果关系之间的区别是什么?每个孩子都应该学习最常见的偏差表,还应当学习为什么要对奇闻轶事持怀疑态度。
《从一到无穷大》
首先讲了一个纯数学问题,无穷大到底有多大。数学家发现,在无穷大的世界中,整体是可能等于部分的,比如整数的数目和偶数的数目就是相等的。但并不是说所有的无穷大都一样大,无穷大数分为三级,一级比一级大,比如一条线上点的数目,就要比整数的数目要更大。
目前数学家发现,无穷大数一共有三个等级。第一级无穷大,就是整数的数目。第二级无穷大,就是线段、长方形、立方体这些几何结构里点的数目。也就是说,一条线段上所有点的数目,跟一个长方形里所有点的数目,或者是一个立方体内所有点的数目,都是一个级别的,是相等的。第三级无穷大,是所有曲线的形状的数目。什么意思呢?就是假如你随手画一条歪歪扭扭的曲线,随便画,你肯定能够画出无穷多种形状的曲线。这些千奇百怪的曲线的总数,是无穷大的,而且是第三级无穷大,是最高等级的无穷大。直到现在为止,数学家也没有发现比这个无穷大还大的数字。
第二个问题是数学和物理相结合的问题,虚数到底有什么用?虚数就是负数的平方根,科学家们一开始认为,虚数是毫无意义的,也是没用的。但后来物理学家发现,当我们需要把时间和空间相结合,来建立一套四维空间的几何学,或者研究狭义相对论的时候,虚数就能派上大用场。
最后一个问题和几何有关,弯曲的三维空间到底是怎么回事?通过测量地球和恒星之间的夹角,科学家发现,大质量的物体会导致空间发生弯曲,而且引力的本质,就是这种空间的弯曲。不光如此,如果空间弯曲成某些特殊的形状,就可能具有某些极其特别的性质。