连续型随机变量及其概率密度

定义： 对于随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$ ，若存在非负的函数 $f(x)$ ，使对于任意实数 $x$ 有：

$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \, {\rm d}t$

则称 $X$ 为连续型随机变量，其中 $f(x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数，检测概率密度。

$f(x)$ 的性质：

（1） $f(x)\geq 0;$

（2） $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, {\rm d}x=1;$

$\quad \quad \because F(+\infty)=1$

（3）对于任意的实数 $x_1,x_2 \,(x_1\leq x_2)$

$\quad P(x_1<X\leq x_2)=\int_{x_1}^{x_2} f(t) \, {\rm d}t;$

$\quad \because LHS = P(X\leq x_2)-P(X\leq x_1) = F(x_2)-F(x_1) = \int_{-\infty}^{x_2} f(t) \, {\rm d}t - \int_{-\infty}^{x_1} f(t) \, {\rm d}t$

$\implies$ 对任意的实数 $a$ ， $P(X=a) = 0.$ 且 $P(x_1<X\leq x_2) = P(x_1<X<x_2)$

对于连续型的随机变量 $X$ ，有

$P(X\in D) = \int_D f(x) \, {\rm d}x，任意 D \subset R.$

（4）在 $f(x)$ 连续点 $x$ ， $F'(x) = f(x).$

即在 $f(x)$ 的连续点

$f(x) = F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{P(x<X\leq x+\Delta x)}{\Delta x}$

$P(x<X\leq x+\Delta x) \approx f(x)·\Delta x$

这表示 $X$ 落在点 $x$ 附近 $(x, x+\Delta x]$ 的概率近似等于 $f(x)\Delta x$

说明：

（1） $f(x)$ 值的含义；

$\quad \quad$ 当 $\Delta x$ 充分小时，

$\quad \quad$ $P(x<X\leq x+\Delta x) \approx f(x)·\Delta x$

（2） $f(x) 的值是可以大于 1的；$

（3）

$f(x) \quad \underrightarrow{\int_{-\infty}^x f(t) \, {\rm d}t} \quad F(x)$

$F(x) \quad \underleftarrow{\frac{d}{dx}F(x)} \quad f(x)$

例 1： 设 $X$ 的概率密度为

$f(x)=\begin{cases} cx+1/6, & 0<x<2; \\ 0, & \text{其他.} \end{cases}$

求：（1）常数 $c$ 的值；（2） $X$ 的概率分布函数 $F(x)$ ；（3） $P(-1<X<1)$ 的值。

解：

（1）

$\begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, {\rm d}x = \int_{-\infty}^{0} f(x) \, {\rm d}x + \int_0^2 f(x) \, {\rm d}x + \int_2^{+\infty} f(x) \, {\rm d}x \\ &= \int_{-\infty}^0 0 \, {\rm d}x + \int_0^2 (cx+\frac{1}{6}) \, {\rm d}x + \int_2^{+\infty} 0 \, {\rm d}x = \int_0^2 (cx+\frac{1}{6}) \, {\rm d}x = \left. (\frac{c}{2}x^2 + \frac{1}{6}x) \right| _{0}^{2} \\ &= \frac{c}{2} \times 2^2 + \frac{1}{6} \times 2 \implies c = \frac{1}{3}. \end{aligned}$

（2）
$f(x)= \begin{cases} x/3+1/6, & 0<x<2; \\ 0, & \text{其他.} \end{cases}$

$F(x)=P\{X\leq x\}=\int_{-\infty}^x f(t) \, {\rm d}t$

由第 1 问可知， $\int_0^2 (cx+\cfrac{1}{6}) \, {\rm d}x=1$ ，等价于 $P\{X\in (0,2\}=1$

a. 当 $x<0$ 时， $F(x)=P\{X\leq x\}=\int_{-\infty}^x 0 \, {\rm d}t = 0$ ;

b. 当 $x\geq 2$ 时， $(0,2)\subset (-\infty, x]$ ，故 $F(x)=P\{X\leq x\}=1$ ;

c. 当 $0\leq x<2$ 时

$\begin{aligned} F(x) &= P\{X\leq x\} = \int_{-\infty}^x f(t) \, {\rm d}t = \int_{-\infty}^0 f(t) \, {\rm d}t + \int_0^x f(t) \, {\rm d}t \\ &= \int_{-\infty}^0 0 \, {\rm d}t + \int_0^x (\frac{t}{3} + \frac{1}{6}) \, {\rm d}t = \left. (\frac{t^2}{6} + \frac{t}{6}) \right| _0^x = \frac{x^2}{6} + \frac{x}{6} \end{aligned}$

即

$F(x)= \begin{cases} 0, & x<0; \\ \cfrac{x^2}{6} + \cfrac{x}{6}, &0\leq x<2; \\ 1, & x\geq 2. \end{cases}$

（3）

$f(x)= \begin{cases} x/3+1/6, & 0<x<2; \\ 0, & \text{其他.} \end{cases}$

$\begin{aligned} P(-1<X<1)&=\int_{-1}^1 f(x) \, {\rm d}x \\ &= \int_{-1}^0 f(x) \, {\rm d}x + \int_0^1 f(x) \, {\rm d}x \\ &= \int_{-1}^0 0 \, {\rm d}x + \int_0^1 (\cfrac{x}{3} + \cfrac{1}{6}) \, {\rm d}x \\ &= 0 + \left. (\cfrac{x^2}{6} + \cfrac{x}{6}) \right| _0^1 = \cfrac{1}{3}. \end{aligned}$

或

$F(x)= \begin{cases} 0, & x<0; \\ \cfrac{x^2}{6} + \cfrac{x}{6}, &0\leq x<2; \\ 1, & x\geq 2. \end{cases}$

$P(-1<X<1)=F(1)-F(-1)=\cfrac{1^{2}}{6}+\cfrac{1}{6} - 0 = \cfrac{1}{3}$

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