从几何角度来讲维度。可以看做是一条线的投影。就是你从某个角度来看。线的投影就是一个点。而一个面的投影，就是一条线。比如我们说一张纸是一个面，一个面有上面和下面。但是我们从侧面去看呢，就只是一条线。一个立方体，从上往下看是俯视图。从左右看是侧视图，无论从哪个角度看它的投影，最终是一个面。从投影这个角度来讲，也就是说一个二维的东西，他的投影是一维的；三维的东西，投影是二维的。以此类推，四维空间，投影是三维的。五维空间，投影是四维的。六维空间投影是五维的。11纬的空间投影是10维。12位的空间投影是11维的。

我们知道，一条线是由许多点组成的，我们从一条线上看，很多点排列成一条线。而当我们把一条线变得曲折。线就变得有了维度。具体是多少维呢，我们可以通过测量来得到结果。测量一条有很多皱褶和弯曲的曲线时，我们的测量的方式越精确得到的测量值越大。这就是非常著名的英国海岸线长度的故事。有个叫Richards的人，他要去测量英国的海岸线长度，发现能够找到的文献里，英国海岸线长度都不相同，而且差别特别大。最后他发现越小的比例尺测量得到的测量值越大。这是什么意思呢？就是说，假如你骑着大象去测量，得到的值，和蚂蚁去测量得到的值，是肯定不一样的。因为有许多的曲折，大象都一步就跨过去了。而蚂蚁呢，每一个小的皱折，他都要一步一步爬过去，所以当一条线很曲折，它就具有了维度。

用测量海岸线或国际线的方式的把维度定义一下。比如说非州的国境线。基本是直线，所以他们的维度是1。而英国的海岸线比较曲折,他的维度是1.4。挪威的海岸线更加的曲折，他有很多的海湾，有很多的洋流。挪威的海岸线的维度可能有1.6。继续夸张一点说，假如一条线铺满了整个平面，那么我们可以说他的维度就可以到2维，你们看，一条一维的线，变成了2维的面，通过什么达到的呢，通过曲折和皱折。

举个例子，每到国庆长假，每个旅游景点的门口可以看到，按“之”字排成长龙的那些队伍，我们就能深刻的体会到一个人、一条直线铺成个平面的这种壮观。本来你距离那个门口直线距离可能只有5米，但是那个“之”子路线曲曲弯弯让你到那个入口，要走500米才能到。这是一条直线通过曲折，变成一个平面。

我们再来看一个平面变成一个立体。我们要洗床单，一个床单是一个平面，可以铺满了一张床。洗衣机绝对没有一个床那么大，所以床单已经极尽皱折，揉成团挤在一起变成了一个三维的球状体，如果说一个床单，一个二维的平面，当他在洗衣机里面的时候，他就是一个2.8维的立方体。这里面还有一个概念，就是当一个物体的维度升高，它的面积会急剧地缩小。或者反过来看，一个物体的边长增大。它的面积会增大。但是它的体积。会比他的面积增大的得快得多。

用数学公式来讲，面积是以平方的比例来增大的。体积是以立方的比例增大，这个就叫幂次定律。我们已经能够体会到一个一维的线，通过极尽的皱折，可以变成一个二维的面。一个二维的面，通过极尽皱折，可以变成一个三维的体，一个三维的体，也可以通过极尽皱折，变成一个四维的空间，直线，面积和体积的不同变化比率，有几个特别好的例子，点pizza的时候。如果你点了一个9寸的披萨。然后过了一会儿店员来跟你说是送的披萨没有了，给你两个5寸的披萨。你可能很高兴的就接受了，但其实这里面隐藏着一个平方律，半径的平方才是面积，你会发现你原来的九寸的披萨，九九八十一和你现在五寸的披萨五五二十五，即便是2个，也只有50，差别好大。

继续说维度。如果我们能够体会一个面变成一个体，二维变成三维。会变得比较小，床单塞进洗衣机，看起来会比较小。从三维变成四维呢，会更小，从四维变成五维，会更小，从五维变成六维会更小，所以呢，实际上我们说十一维，是非常非常微观的世界。任何高维往低纬度展开，都会大很多。比如，把方盒子，拆开成平面。比如，把毛衣拆成线。而我们每个维度，实际上都隐藏着高一个维度在内部，比如人体，内部肠，肺叶，血管，都极尽皱折，所以人有隐藏的四维。二维的面，隐藏了三维的体，三维的空间，隐藏了四维。十一维的空间，表现出十二维的特征值。

这些皱折都是分形，自相似的分形。宇宙万物都通过分形，扩展自己的维度，那么关于个人的维度，人的分形越多，自身的纬度越高。所以历经苦难折磨，都是在增加你的维度，我们都要好好分形。

（所以维度包含了对线性思考的批判，真实世界中基本没有纯粹线性。）这是对欧几里得几何的一个破界