愚公是谁？愚公者，一个笨老头也。愚公老师，却不是一个笨老师。中学语文课文里的《愚公移山》，那绝对是东方的经典，是我国传统文化的一个优秀故事。

近日，和学生一道再学习数学归纳法，数学归纳法是演绎推理的一种方式。对于和正整数有关的命题，大都可以考虑这种方法。就是要证明对于所有的正整数n，命题P(n)都成立，一个也不能少。

以前在引导学生感受这一方法时，通常用多米诺骨牌来说明。借助多媒体，学生可以真切地看到多米诺骨牌倒下的壮观和气魄。当然，除了用多米诺骨牌来表现外，还可以用图书、人体等来替代骨牌。表达的意思是一样的，推倒第一块，接着便会推倒第二块、第三块，直至成千上万块。有好事者还创造出多米诺骨牌吉尼斯世界纪录。

然而，多米诺骨牌无论制作得怎样的精致，数量仍旧是有限的，总有结束的时候。能够推倒的，依然只是有限块。然而，数学归纳法所要解决的，对所有正整数命题皆成立，要求从有限深入到无限。这样看来，用多米诺骨牌来解释数学归纳法，只是表面，没入实质；只是形似，难表其神。

中国传统文化博大精深，老子在《道德经》中说“道生一，一生二，二生三，三生万物”，寥寥数句，刻画出来的“无限”，言简意赅，淋漓尽致。所谓“万物”泛指的“无限”，乃是不断“生”出来的啊。

对数学归纳法阐述最为精准的，应当数愚公移山里的“愚公”，愚公老师用他朴素的语言，构造了一个“生生不息”的无限思维模型，给我们上了一节生动的数学课。

愚公老师说：“虽我之死，有子存焉；子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”

在这节课上，愚公老师没有去谈什么多米诺骨牌，而是用自己的切身体会，从生活的角度表达了自己对数学归纳法的理解。在这里，愚公老师高调宣布了用“无限”战胜“有限”的胜利。即是以自己拥有的世代永续的无限家族，战胜了“山不加增”的有限山体。

有同学可能要反问愚公老师了，如果你愚公老师不能“生子”怎么办，既使你愚公老师能生，又如何能保证你的子孙中哪一辈不会“绝户”，甚至遇到计划生育时怎么办？问题可能令愚公老师很尴尬，甚至很难堪。

我想，学生能提出各种质疑愚公老师的问题，那将是绝对的好，说明学生在思考数学归纳法了！数学归纳法能证明和正整数有关的问题，就是要使得每一步都能成立，这里面的“成立”，或者“满足”，就是学生质疑愚公老师“能不能生”，以及愚公老师的后辈“会不会绝户”的问题。

所以愚公老师首先就要保证，自己和自己的各代子孙都能生育这个“前提条件”。不过学生和愚公老师的担忧，国家也都考虑到了，现在已经放开二胎了。

这样的话，愚公老师的家族就成为“一代接着一代、没有‘穷匮’、没有中断、没完没了、无穷无尽”的一个无限世代序列。这是实实在在的无限。

把愚公老师的生子计划转化为数学问题，按世代的顺序依次记下来就是正整数1、2、3……。愚公老师用“子孙都能生育”换来了“世代永续”、“无穷匮”的无限家族，终于跨越有限、成功进入无限的大门。

好了，愚公老师自己的故事说完了。那么我们来看看愚公老师的高明之处，既然愚公老师的子孙序列可以做到“无穷匮”，那么对于和正整数有关的命题列P(n)可不可以呢？ 这时候就要看命题列P(n)是否具有愚公老师子孙序列的特性了。

如前所说，愚公首先要获得了他的子孙都能够“生子”的保证。类比到数学归纳法上，就是看P(n)的每一代能不能“生子”了，也就是说需要检验。事实上，数学归纳法本身正是在做这样的检验!

首先，数学归纳法的第一步是要验证n=1时P(1)成立。当然，有的时候不一定是从1开始，那要看初始值是什么。这相当于检验P(1)的正确性，就是愚公老师自己必须能“生子”一样，即有子存焉。

其次，对任意的正整数n，假设具有正确性的P(n)，可以推导出P(n+1)也是正确的。就像判断愚公老师的每一代子孙都能“生子，子又能生孙”。一旦这两步都成立了，P (n) 的正确性序列能够一代代地“生”出下一代了，就可以像愚公老师所说的那样，“子子孙孙无穷匮也”，无一例外地全部都成立。

从《道德经》 的三生万物，愚公老师的生生不息，到“野火烧不尽，春风吹又生”，中国传统经典的无限观一直和“生”联在一起。一个“生”字，使得数学归纳法不再神秘。

很多的学生对数学归纳法那两步的检验始终不明不白，为什么要奠基，又为什么进行递推，一直不知所云。如果能聆听愚公老师的一节数学课，大概就能“会心一笑”，觉得那不过是在进行能不能“生”的检验而已！

一直以来，从事着高中数学的教学和研究，许多年的经验告诉我，数学是根植于生活之中，数学理论知识的提炼离不开我们的生活。然而纯粹的数学问题又是枯燥无味的，很多学生说“我待数学如初恋，数学虐我千百遍”，和数学的抽象难懂有关。

于是，我常常想，能不能把数学和传统文化与实际生活结合起来，把数学课上得学生更愿意去听，学生感到了兴趣，感觉到有意思，这样才能喜欢数学，爱上数学，才能领悟到数学是好玩的。

愚公老师给我们上了很精彩的一节课，谢谢愚公老师，也谢谢传统文化。