伽罗瓦的可解性理论
在阿贝尔研究用根式解方程后，虽然高于四次的一般方程不能用根式求解，但仍有很多特殊方程（如二项方程x^p=a（p为素数）和阿贝尔方程）可用根式求解，于是任务变成确定哪些方程可用根式求解。伽罗瓦（Évariste Galois，1811-1832）接手了阿贝尔开启的课题。
伽罗瓦家庭富裕，双亲均为知识分子，曾经就读于巴黎的一所知名公立中学，15岁时对数学产生了狂热兴趣，仔细研究了拉格朗日、高斯、柯西和阿贝尔的著作，同时忽略了其它科目。伽罗瓦本想考入多科工艺学校，但可能是面试失误或考官不了解他，两次都落选了，因此进了预备学校（感觉相当于预科吧）。1830年七月革命，查理十世退位，法国王位由他的堂弟奥尔良公爵路易·菲利普继承，伽罗瓦支持共和主义，他因公开批评学校学监不支持革命而遭到开除。他两次因政治罪被捕，1830-1832年中大部分的时间都在蹲局子，最终死于1832年5月31日的一场决斗。
上大学第一年，伽罗瓦发表了四篇文章。1829年他把解方程的两篇文章投给科学院，结果被柯西搞丢了。1830年他又投稿，文章送到了傅里叶那里，不久后傅里叶去世了，文章也遗失了。在泊松提议下，伽罗瓦就他的研究写了一篇《关于用根式解方程的可解性条件》，这是他在方程解理论方面仅存的文章，结果被泊松退回了，说写得难以理解，劝他再写份详细的。在伽罗瓦去世前夜，他还在匆匆赶稿给自己的研究起草说明，交给了朋友August Cheralier，还好这个说明没弄丢。
1846年刘维尔在《数学杂志》上出版了伽罗瓦的部分文章，其中包括他1831年论文的修订。后来Serret在其1866年的教材中对伽罗瓦思想作了一个叙述。若尔当(Camille Jordan)在其1870年的书中给出了伽罗瓦理论的首个全面而清楚的介绍。
伽罗瓦从勒让德、高斯、阿贝尔的著作中受到启发，但他主要是通过改进拉格朗日思想去探讨可用根式求解的方程特性。他提出考虑一般方程，系数必须是独立或完全任意的（同拉格朗日），他还提出考虑特殊方程如
，其中仅有两个独立系数。伽罗瓦的主要思想是绕开构造这些给定多项式的拉格朗日预解式，这种构造需要很高的技巧，且没有明确的一般方法。
伽罗瓦和拉格朗日一样使用了根的置换或排列的概念。例如设x1,x2,x3,x4是一个四次方程的四个根，则在包含这些xi的任何表达式中，交换x1和x2是一个置换，表示为
交换x1,x2和x3,x4表示为
依次进行上述两个置换，等价于
第一个置换中x1换成x2，第二个置换x2换成x4，等价于第三个置换x1换成x4，称第一、第二个置换按以上顺序作成的乘积是第三个置换，4个根共4!个可能的置换，因为置换集合中任何两个置换的乘积仍是原集合的成员，所以称置换的集合形成了一个群。这个概念是伽罗瓦给出的，并不是抽象群的正式定义。
考虑（p,q独立），令R为p,q的有理表达式所形成的域，这些表达式的系数在有理数域中，比如表达式(3p^2-4q)/(q^2-7p)。伽罗瓦认为R是由添加字母或未知数p,q到有理数中而得到的域，域R是给定方程的系数域或有理整环，就称方程属于域R。和阿贝尔一样，伽罗瓦提出了域或有理整环的概念，但没有引入术语。
这个四次方程的根是
当系数在域R中，有两个关系x1+x2=0,x3+x4=0，因为是四次方程，有4!=24个可能的置换，下面八个置换
使系数在域R中，x1+x2=0,x3+x4=0仍成立。可证明这8个置换是24个置换中仅有的使根之间在R中的全部关系保持不变的置换。这八个置换就是方程在R中的群，它们是整个群的一个子群，意思是，一个方程相对于域R的群是根的置换的群或子群，这些置换使给定方程（不管一般或特殊）的根之间带有R中系数的全部关系保持不变。使R中全部关系不变的置换数是衡量对根无知程度的一个尺度，因为在八个置换下不能把它们区分开来。
考虑，添加根式到R中形成一个域R'，形成包含R和根号p^2-4q的最小的域，于是
是R'中的一个关系，由于x1+x2=0,x3+x4=0，我们还有
这两个关系，因此上面八个置换中的前四个使R'中关系保持成立，后四个则不行。如果前四个置换能使根之间每个在R'中正确的关系保持不变，就是方程在R'中的群。这四个置换是八个置换的一个子群。
令，添加
到R'中形成域R''，
是R''中的一个关系。这个关系仅在E和E1下保持不变，若根之间每个在R''中的关系在这两个置换下保持不变，则方程在R''中的群由这两个置换组成。这两个置换是之前四个置换的一个子群。添加
到R''中得到R'''，在R’‘’中有
，现在只有E使R'''中全部关系保持正确，这是方程在R'''中的群。
由此可见，方程的群是可解性的关键，因为这个群表示根不可区分的程度，即我们还不知道关于根有哪些东西。
对方程来说存在许多群，或者说一个置换群和一些子群，一个群（或子群）的阶就是其中元素的个数，上述是阶为24,8,4,2,1的群。子群的阶总能整除母群的阶。一个子群的指数是它所在群的阶被子群的阶除所得的商，例如8阶子群的指数是3。
