1 皮亚诺所肯定的五个基本命题是:
(1)0是一个数。
(2)任何数的后继是…个数。
(3)没有两个数有相同的后继。
(4)0不是任何数的后继。
(5)任何性质,如果0有此性质;又如果任一数有此性质，它的后继必定也有此性质;那么所有的数都有此性质。

五个基本命题中的最后一个是数学归纳法原则。关于数学归纳法,以下将详细论述;现在我们提到它，只是因为它出现在皮亚诺的算术分析中。

皮亚诺的三个基本概念--就是“0”,“数”和“后继”。

2 现在我们要越过皮亚诺的研究而进人弗芮格(Frege)的讨，这是件必然的事，我们且思考其所以为必然的理由。我们已知皮亚诺将数学“算术化”做到最后完善的地步，弗芮格则第一个成功地将数学“逻辑化”。他的前辈们证明了一些算术概念对于数学是充分的，他再将这些算术概念归约到逻辑。本章中我们不预备实际陈述弗芮格的数和个别的数的定义,但是我们将说出一些理由，为什么皮亚诺的研究不如它看起来那样的根本,或者简单地说，不够彻底,以致还要有人作进一步的研究。

第一，皮亚诺的三个基本概念一--就是“0”，“数”和“后继”能容许无数不同的解释，所有这些解释都能满足那五个基本命题。下面我们列举几个例子。
(1)令“0”指100,而“数”指自然数串中 100 以上的数。依这种解释,所有我们的基本命题,即使是第四个,都可满足。因为:虽则100是99的后,然而99却不是一个我们当前所谓的“数”。显然,任何其它的数都可以代替这个例子中的100
(2)使“0”具通常的意义,而令“数”指我们通常所谓的“偶数”并且令一数的“后继”指由这数加2所得的数。于是“1”将为数二所代替,“2”将为数四所代替,如此等等。“数”申现在成为
0，2，4，6，8,…所有皮亚诺的五个前堤仍可满足。
(3)令“0”指数一,“数”指如下的集合
1,1/2,1/4,1/8, ...
所谓一个数的“后继”所指的就是一个数的“一半”。对于这样的一串数,所有皮亚诺的五个公理仍真。
···

_这里的例子可以见到罗素对于“后继”的含义。它仅仅指出一个数的下一个数，而并不规定这个数那个数的内容。在这里，确定的是数的序列之间一个接着一个的序号的加一，而这个数那个数的内容，它们是多少或什么数并未加规定。之前在第三章里对于后继的用法我理解错了。
这里，“后继”的含义和“0”的含义一样，都还是其语法还没有定义的情况。
而第三章里对于后继的使用，通过这句话“假使无论何时一数n有一性质，它的后继n+1也有，则称这性质在自然数串中是“遗传的”(hereditary)。”可以看到限定在+1这种用法里。或者说这里特别谈论的是+1这种后继关系。或者说，第三章里罗素直接对于后继的用法作出了进一步的规定，从而避免了第一章里指出来的其用法的随意性的空间。

_大体上，这里的符号“0”本身的语法还是模糊的。可以明确下来的只是一个f（0），或罗素的例子x0。这就为0的意指提供了一个无限的可能性的空间。这里f（）的含义还是未确定的，它突出来的是一个逻辑空位的存在，而非f（）的内容的确定。
日常语言中看到0就直接用为弗雷格基于逻辑作出来的定义，作为一个属于空项类的那个数，这种理解存在“0”的语法的偶然性。假使把这话说给一个原来有数的概念但是没有阿拉伯数字符号的使用传统的文化下的人，这个话就存在了这个歧义。或者说，这么说，并没有把事情说清楚：通过数字“0”而缺乏其语法的明示，比如弗雷格对于0的基于逻辑的定义，那么其语法还是没有确定的，就会带来诸多歧义的可能。

日常语言可以基于文化的语境给出语言的语法。但是数学作为纯粹的科学，在试图精确定义把它建立在逻辑的基础上时，文化本身就是一种还有待探究根据的对象。甚至就求真而言，文化是一种有待基于求真和逻辑来重塑的东西。它不再适合作为数字符号的语法考察的根据。
在这里，弗雷格和罗素把眼光越过奠基于文化的日常语言落到逻辑上试图把数字符号的含义或语法奠定到逻辑上面，和逻辑发生直接的衔接勾连。试图把数准确地归约于逻辑。

这里可以看到一种表层语法。“0”意谓0这个数。后继意谓加1。前者是语法的含混，带来日常的对于“0”的运用。但是这里考虑的是数的基础问题，把日常用法带入到定义的环节来，是非法的。这种日常用法恰恰是需要定义来澄清的对象，而非作为用来澄清它的东西的定义。后者指出的则是一种序号的加1，但是此序号作为符号的标记，还并非其所指称的东西、一个数。类比表达式的含义和意谓。含义作为基于表达式的给出方式而给出来的东西。序号具有这样的特征。从含义到意谓，还需要基于别的条件的给出。_

“0”、“数”与“后继”不能用皮亚诺的五个公理去定义，而必须单独地了解,这一点非常重要。我们需要的是,我们的数不仅适合数学公式,并且能在恰当的方式中应用于普通的事物。若在--个系统中，“1”指100，“2”指101，如此类推,这样的系统对于纯粹数学可能完企合适,但是不能适合日常生活。我们有十个手指,两个眼睛和一个鼻子,我们需要“0”“数”与“后继”所具有的意义，能给我们的手指,眼睛,鼻子适当的定量,适当的数目。关子我们用“1”与“2”等所指的东西的知识,虽说不够明白或清晰，可是我们已经具有，我们在算术中数的用法必须符合这种知识。由皮亚诺的方法,我们不能保证这种相符的情形,如果我们采取他的方法，我们只能说:“我们知道'0’、数’与'后继’的意义是什么，然而我们不能用别的更简单的概念解释它们”。在必需时这么说是上分合法的,并且在某些地方我们都必需这么说,就是:“我们知道我们已有的概念的意义是什么，然而我们不能用其它更简单的概念来解释这种意义”。但是,数理哲学的目的是尽可能将这种说法推后，尽可能寻求更简单的概念以解释我们已有的概念。

3
回到第三章
我们现在作出下面的定义:
“自然数”就是对于“直接前趋”这一关系(“后继”的逆关系)而言的0的“后代”。
这样，我们做到了以皮亚诺的三个基本概念中的两个来定义其余一个。由于这个定义，他的基本命题中的两个--一个说0是一个数,一个是数学归纳法…变成不必要的,因为它们都可由定义得出。至于一个自然数的后继也是一自然数这一命题也可以减弱成为“每一个自然数有一个后继”，只是这样的一个形式就够了,就可以代替上一命题。

自然，我们也能够用我们在第二章中所得到的一般的数的定义很容易地定义出“0”与“后继”。数0是一个没有分子的类的项数,亦即，所谓“空类”的项数。应用数的一般定义，空类的项数是所有与空类相似的类的集合，也就是仅由空类所构成的集合，或者，以空类为唯一分子的类(这一点是很容易证明的)。(注意:这类并不等同于空类,它有一个分子，即空类;而空类本身却没有分子。有一个分子的类决不等同于它所有的那个唯一的分子，其理由在我们讨论到类的理论时，将加以解释。是以我们有如下的纯逻辑的定义:
0是以空类为唯一分子的类。
现在剩下的是来定义“后继”。给定任何数n，令α为有n个分子的类，又x不是a的一分子，那么以a再加上x所形成的类就有n+1个分子。因此我们有下面的定义:
类α所有项数的后继就是α与任何不属于a的项x一起所构成的类的项数。

审视这个定义，是这么一种情况：命题中的名称的含义还是为定的，但是基于逻辑或一种相对的联系就可以断言命题意谓真。这就像我总是可以断言：A作为一个自然数，无论它是什么，A+1>A。

如是，我们已经将皮亚诺的三个基本概念全归约到逻辑的概念:我们已经作出它们的定义，这些定义使它们意义确定，不再容许无穷个不同的解释，如象它们仅限于服从皮亚诺的五个公理时那样。基本概念是只可了解而不能定义的，如今我们不再把这一个概念列为基本概念,这样,可以增加数学演绎的清晰性。
至于五个基本命题，它们中间的两个可以用我们的“自然数”的定义而证明,这一点我们已经做到了。然则其余的三个又如何?0不是任何数的后继，和任何数的后继是一数，都是很容易证明的

_关于0不是任何数的后继的证明。
如果存在一个数A，它的后继是0。
A+1=0.
A=-1.
负数并非自然数。自然数的定义里包含大于0这一条。
所以0不是任何数的后继。

这里，在作关于数的定义的工作里，在哪种程度上可以运用日常的数学或算术？可以用么？
可以的。数学哲学的工作在于为既有的数学探究其逻辑基础，是建立在对于计算的承认之上。恰恰在基于计算的承认，承认其合法性有效性，它是真的，才在做一种其何以为真的根据或基底的探究。
这种使用的界限是日常情况的使用，有限的计算。而一涉及关于无限的讨论，其实已经是一种本质在先逻辑在先的情况而非日常经验的情况了。这时，就不再能合法地援引日常经验或计算用来在其某种角度的扩大化从有限在类比的意义上延伸到无限，作出关于无限的东西的判断。
或者说，数学哲学在日常经验的有限数的算数运算上，可以类比康德的知性之于经验概念，前者作为后者的先验形式的分析。整分关系，或形式的分析，作为分析命题，它并不去挑战或质疑分析对象的真。哲学的工作在于把这些从经验的分析所得作为先验命题的逻辑，对无限的东西有所谈论。虽然康德的结论它和合法运用范围仅仅是经验。不然就是理性的僭越。这个结论拿到算数里，在一种分析的结论、分析命题只是在其分析的对象所构成的类那里总是合法的而言，适用于有限数的算数。至于无限数，虽然1作为数和它有同一个名称，其存在的逻辑有其根本的不同。不可以把前者那里适用的逻辑未经审视就拿到后者这里来运用。类比柏拉图在以大喻小中正义的城邦和正义的定义或理念正义之间的区分，前者目的先于逻辑，后者逻辑在先。后者作为基于前者的分析而得到揭示的一个作为分析命题的真理。
作为分析的对象，具有某种实在性。实在在这里大致是一种自身作为关于世界的判断的东西。康德的综合命题，无论先验的还是经验的，它是实在的。逻辑在先的情况，作为分析命题，它非实在。它不负责关于世界的判断，但是作为带有空位的形式为任何综合判断指出框架的形式的东西。在这里，分析的对象和分析命题之间具有某种整体和不独立部分的关系。
亚里士多德的把实体划分为形式和质料，其形式和柏拉图的关乎世界的判断的实在的理念同类，它们都是实在的。但是，实体作为范畴是分析命题，非实在。是先天命题。
来到整分关系。这里有基于对象的或者实在的东西或非实在的概念的划分。带来的是相应的胡塞尔的独立部分、块片和非独立部分、因素的划分，以及概念分析中诸内涵自身构成诸概念之间的项和处于类之下诸项之间的、个别东西和集合之间的整分关系。逻辑一方面做概念分析，另一方面考虑基于概念到概念的思辨。它们作为判断的构成的两个方面。_

但是关于“没有两个数有相同的后继”这仅剩的一个基本命题却有一点困难。如果宇宙中个体的总数不是有穷的，这个困难不致发生;因为:给定两个数m和n,这两个数都不是宇宙中个体的总数，容易证明:除非m=n，我们决不会有m+1=n+1。但如我们假定宇宙中个体的总数是有穷的,譬如说，10;那么就没有一个类有11个个体，11这数就是一个空类,数12亦然。这样，我们就有11=12:因此10与11虽不同，10的后继却与11的后继相同。于是我们有两个不同的数有相同的后继。但若字宙中个体数不是有穷的，第三个公理的失效就不可能发生。

更实际的例子是，谈论高于光速的速度，或者低于-273摄氏度的温度。它们都是没有意义的，因为它们不存在。
这段话体现出来有趣的一点是，分析哲学的谈论的方法。总是基于认识论上直接给出来的东西开始，来谈论一种类、概念的东西，或者名称的意谓。它不是从概念到概念的单纯思辨的工作，不是辩证法。分析哲学的工作方法有别于辩证法，它是基于实在的事物的讨论开始的。而这里实在的事物，就是日常朴素用法里的认识论上在先给出来的东西。这恰恰也体现了分析哲学工作中的语境原则。
这段话里，11和12都是空类，它们在没有意义，或在都作为空类而言相等。可以看见，任何一个数基于内涵的定义有意义都基于存在这样的类（集合），后者作为基于外延所定义。数始终不能脱离基于外延定义的类不能脱离具体的成员所构造的集合而被谈论。因此，对于罗素夫妻，谈论3这个数就是没有意义的。或者对于一个50人的班级，谈论51没有意义。或者对于一个活不过100岁的人谈论101岁没有意义。无限这个概念，因而在这种思路里就需要特别谨慎。
那么这个例子中，11这个数由于其作为空类，它和0这个数相等么？11=12=0？
存在一些类，它们的成员数是a。这样的类的数b。它们是两个数。后者是这样的类进一步构成的一个新的类。b这个数属于这个新类。
这里可以看到，一个数是由给出的类所定义的。11和12在这里都是空类。11在作为10的后继而言没有意义。或者说没有这样的类存在，没有11属于它的类存在。只能在这个空类的意义上，11和12相等。但是可以说它们等于0么？
这句话就是在问，11可以脱离它所属于的类的存在被使用么？这是对于“11”的含义逻辑上在先的问题。或者说，可以脱离世界单纯地谈论数么？这就是一种不是分析的方法而言不是作为类的类而言谈论数本身。在这种意义上，可以在物理的可能或物理的认知之先谈论一种纯粹的数学。但是分析哲学考虑的数的定义，不是这样的东西。它是作为认识论的经验世界之上所生发出来的东西。类比亚里士多德的经验之于概念，有别于柏拉图的理念在日喻中作为万物之本源。
11和0. 在字面上或者涵义而言，总是有区别。11和12也是。罗素说11=12，显然不是在这种弗雷格的涵义的层面的相等，而是意谓的相等。
在涵义和意谓之间，有一个语法空间或逻辑位置的存在它维系起两者之间的衔接。前面第一章罗素通过“1”和1之间的关系通过可以把前者指谓100而指出这里语法空间的存在。这里的11和12的相等，是把这2个数置于具体的语境下来谈论它们基于语境所决定的用法或语法考虑这2个数在语境种实际的意义。
可以把类的类而言的一个数，看作“11”的意谓，而日常数学上的11，看作“11”这个符号的涵义。从涵义到意谓，存在语法。这语法就是类的类的考察。在这个意义上，可以说这里11=12=0。罗素总是基于语境使用数字符号和谈论一个数。因此，基于语境的语法考察，对于理解罗素是不可或缺的。
罗素在文中谈到1时，始终还是存在作为符号的“1”和数字1之间的语法考察的问题。我们基于同一种阿拉伯数字的使用的习惯或传统，不自觉地以为通过"1"总是谈论一个十进制阿拉伯数1。但是，这里其实有想当然。数1如果离开语法使用的传统离开文化背景，它作为含义仅仅凭符号自身是没有办法表达的。这里有着类似弗雷格的句子意谓真，而真不在语音系列之内的情况。可是我们说话时并不去提示文化就直接使用语言，这是因为谈话的参与者已经默认处于某种程度的文化认同之下。只要考虑一下对孩子解释“钱”是什么，就明白成人习常的事情解释起来是挺费劲的。但是定义的缺乏并不妨碍我们对于“钱”的使用。这种用法如同毛细血管渗入文化的日常之中。我们不是先作定义然后使用语言，而是在语言的传统实际的这般那般的使用中作为分析命题指出“钱”的种种语法。在这里，如果仅仅作为日常的习得，语法的考虑是多余的。只有考虑钱的概念时，考虑“钱”的种种语法自身时，它可能把语法句子看作独立于语境的判断，这带来某种普遍的或先天的本质主义。这恰恰是理性的僭越，是谬误。这样看，语法并非某种满足的，独立的，或柏拉图意义上实在的东西。相反，文化中语言的使用才是实在的，独立的对象，满足的东西。语法是基于其分析的产物，其运用也始终不能脱离语境。只有这点作为超级语法句子，是先天的。理性的认知的结果不过是回到实在中来经验中来。